Александр Гордон - Диалоги (ноябрь 2003 г.)

Физики, собственно говоря, здесь опять делятся на две части. Ортодоксальные физики просто игнорируют существование таких структур. Слишком многое надо менять, большинство не готово к этому. Люди более гибкие пытаются построить фундаментальную фрактальную физику. Не какие-то приложения, к кластерам звездным или к кристаллам, к береговой линии и так далее, а построить действительно фундаментальную фрактальную физику. Но опять-таки это только первые попытки, это опять-таки дело будущего.

Существуют и некоторые другие структуры, о которых я надеюсь сказать попозже. Теперь же перейду ближе к своим вещам, но перед этим упомяну еще замечательные структуры, открытые нашим российским физиком, Ю.И. Кулаковым из Новосибирска, учеником И.Е. Тамма. В свое время, уже достаточно давно, он предложил получать физические законы из так называемых систем отношений. И только из них! То есть вот это и есть вещи, очень близкие к тем, о чем мы говорили: к логике, к исчислению высказываний. И одна эта исходная посылка позволила ему написать очень красивое и «компактное» уравнение, которое приводит к совершенно нетривиальной математике и, с другой стороны, дает, например, обоснование простых линейных законов, которые мы имеем в общей физике. Например, закон Ньютона очень элегантно формулируется на языке «систем отношений», закон Ома и др.

Другой наш физик, Ю.С. Владимиров, подхватил эти идеи и попытался их реализовать на уровне элементарных частиц, построить на основе «систем отношений» фундаментальную физику. И продвижения здесь есть, очень большие продвижения. Недавно у него вышла монография «Метафизика». Он не побоялся даже использовать такое, совершенно незаслуженно «опошленное», если можно так сказать, слово; он имеет на это право. Там действительно очень большие продвижения.

И, наконец, я подхожу к тому, что же все-таки является основой алгебродинамического подхода: это исключительные алгебры. Давайте перейдем к ним, то есть к математическим основаниям моего подхода.

Что такое исключительная алгебра? Наверное, большинство учило комплексные числа: это пара чисел с законами сложения и вычитания обычными, покомпонентными, и с простым законом умножения, который, в общем-то, просто следует из того, что вы добавляете символ «корень из минус 1», так называемую «мнимую единицу» «I», квадрат которой равен минус единице. Красивейшая вещь. Они соответствуют определенной геометрии: геометрии плоскости. Все знают, что комплексное число можно изобразить на плоскости.

Оказывается, что их немного, таких законов. И если закон умножения комплексных чисел соответствует геометрии двумерного мира плоскости, то возникает вопрос: а может быть, какая-то числовая система такого же типа соответствует нашему трехмерному пространству. А если говорить о теории относительности, которую мы давно уже «приняли на вооружение», то и 4-мерному пространству, так называемому пространству Минковского.

Это старая идея. И реализовал ее, открыл алгебру трехмерного пространства великий физик Уильям Гамильтон. Известна даже дата, когда он это сделал. На мосту в Дублине через Королевский канал имеется табличка, где написано: «здесь 16 октября 1843 года Уильям Гамильтон открыл свою таблицу умножения кватернионов». Гамильтон, который предложил самую элегантную из известных трактовку классической механики, который много сделал в оптике, в частности предложил оптико-механическую аналогию, – он больше всего в своей жизни ценил и дорожил открытием кватернионов. Удивительно. И всю свою оставшуюся жизнь после этого открытия он посвятил разработке этой алгебры.

Дайте, пожалуйста, формулу № 2. Здесь, в отличие от комплексных чисел, имеется не две и даже не три, а четыре базисных единицы: одна действительная и тройка мнимых единиц, как бы три «I»: «I, J, К». Квадрат каждой из них равен минус единице, так же как для комплексных чисел. Но, кроме того, и в этом была вся тонкость, почему эту алгебру не могли открыть раньше, между мнимыми единицами имеется весьма специфическое взаимное умножение: каждая пара перемноженных мнимых единиц приводит в результате к третьей. Самое забавное при этом, что если переставить порядок сомножителей, то результат изменит знак. То есть, например «I*J=K», а «J*I» будет равно уже «-K». Эта таблица оказывается единственной, исключительной во многих отношениях, и была доказана потом теорема, что кроме такой алгебры есть еще только одна подобная восьмимерная алгебра, алгебра октав, но и она в некоторых отношениях уже не столь красива, как алгебра Гамильтона.

Некоммутативность, то есть зависимость произведения от порядка сомножителей, действительно, по-видимому, лежит в основе этого мира, потому что она возникает везде: в квантовой механике, например, она является основой всего математического аппарата. Природа некоммутативности до сих пор не ясна. Но, может быть, она связана как раз с существованием таких исключительных алгебр.

Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «живет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем комплексные числа – двумерное (пространство). Потому что, если вы будете поворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умножения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комплексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то закон умножения этой алгебры – и она единственная такая – будет оставаться инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математики говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соответствует группе вращений трехмерного пространства.

И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойствами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твердых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппарат, который позволяет все это рассчитывать.

Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физического Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво, как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физическим Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г. Минковского, который связал геометрически время и координаты в единое 4-мерное многообразие.