Анатолий Томилин - Занимательно о космологии

Такое очень важное и тонкое различие между аксиомой и постулатом со временем сгладилось и принесло неисчислимые беды и чистым философам, и представителям натуральной философии, но о том речь дальше.

Изложение геометрии в книгах Эвклида построено в виде системы определений, аксиом и постулатов, из которых логическим путем выводятся теоремы. В первых четырех книгах Эвклид рассматривает геометрию на плоскости. При этом в книге первой он формулирует пять основных требований, или допущений, на которых строит остальные выводы. Постулаты Эвклида настолько наглядны, настолько очевидны, что так и хочется назвать их аксиомами. Но мы уже предупреждены. И мы начеку. Да и сами постулаты при всей своей определенности точно взывают к бдительности. Смотрите сами. Эвклид пишет: «Нужно потребовать (помните, это эквивалентно словам „допустим, что…“):

1. Чтобы из каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию (и притом только одну).

2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.

3. И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны.

5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороной, с которой эти углы составляют меньше двух прямых».

Даже не умудренный математикой читатель сразу заметит, что пятый постулат резко отличается от четырех первых. Он гораздо сложнее и больше похож на теорему, которую нужно доказывать. В пятом постулате нет и следа наглядности первых четырех, ведь здесь говорится о «неограниченном продолжении» прямых. А попробуйте-ка займитесь этим «неограниченным продолжением». Кто возьмет на себя смелость сказать, что и в бесконечности параллельные прямые не сойдутся?.. То есть интуитивно, конечно, пятый постулат кажется бесспорным. Но интуиция диктуется опытом. Опыт же перед бесконечностью пас. Эвклид и сам скорее всего понимал, что с пятым постулатом не все обстоит чисто. Потому он и распределил изложение материала в своих книгах на две неравные части.

В первой сгруппированы теоремы, которые доказываются с помощью четырех начальных постулатов. Эта часть называется Абсолютной Геометрией. Во второй собраны теоремы, которые могут быть доказаны только при использовании пятого постулата. И эта вторая часть носит название собственно эвклидовой геометрии. Скорее всего некогда пятый постулат был теоремой. Однако ни одна из попыток доказать ее не увенчалась успехом. И тогда Эвклид включил упрямую теорему в число постулатов.

Математики так легко не примирились с решением Эвклида. «В области математики найдется мало вещей, — писал Карл Фридрих Гаусс, — о которых было бы написано так много, как о пробеле в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы попытка восполнить этот пробел. И все же если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид».

От планиметрии — геометрии на плоскости — Эвклид переходит в последних трех книгах к геометрии в пространстве — стереометрии. Что же подразумевал Эвклид под пространством? В руках у вас, читатель, книга. Считайте ее плоскостью. А теперь поднимите ее плашмя над столом и опустите снова. Объем, который прошла книга при этом движении, и есть эвклидово пространство. Просто, правда? В этом пространстве должны быть удовлетворены все постулаты и аксиомы Эвклида, потому что они суть его свойства. Да и кому в голову придет усомниться, например, в том, что прямую линию можно продолжать в бесконечность. Или что пространство всюду обладает одними и теми же свойствами, что позволяет свободно передвигать любые фигуры в пространстве, не нарушая их внутренних связей.

От абстрактного геометрического понятия эвклидова пространства легко перейти к физическому пространству, в котором мы с вами живем и двигаемся. А приложив к миру Эвклида наглядные декартовы координаты, мы добиваемся полного слияния двух геометрий: геометрии Эвклида и геометрии физического мира.

Можно сказать даже, что слишком легко понятия геометрии: точка, линия, фигура, тело — отождествляются с наблюдаемыми объектами. И хотя геометрическая точка является идеализацией точки физической, так и кажется, что подобная идеализация никак не может нарушить основ геометрии. Геометрические объекты физического мира казались настолько тождественными объектам, с которыми имеет дело геометрия, что из этого кажущегося тождества выросла уверенность в том, что для описания пространства физического мира даже формально не может быть построено другой геометрии, кроме эвклидовой. То есть, что геометрия Эвклида — это и есть единственно возможная геометрия физического мира!

Внимательный читатель должен был заметить небольшой логический «кувырок», поставивший взаимоотношения геометрий Эвклида и реального мира в нашем представлении с ног на голову. Родившись и пребывая в своем первоначальном состоянии в качестве предисловия к физике, геометрия воспользовалась полным отвлечением пространственных форм и отношений от материального содержания и превратилась в отрасль чистой математики. Превратилась, чтобы затем подменить собой систему взглядов, описывающих реальный мир. Это было тем более опасно, что, основанная на аксиомах и постулатах, эвклидова геометрия, хоть и вытекала из опыта, проблемой согласования своих выводов с опытом не интересовалась.

Подобные метаморфозы в истории науки не новость. Метод Эвклида был очень похож на метод Аристотеля. Точно так же постулировал Аристотель целый ряд свойств сил и их действий на тела, находящиеся в движении. Понадобился Галилей, чтобы возник вопрос об опытной проверке законов Аристотеля. И тогда казавшаяся совершенной логическая схема стагирского философа и построенная на ее основе механика оказались просто неверными. Галилей с помощью опыта опроверг Аристотеля и открыл дорогу новым законам механики.

Нечто подобное предстояло совершить и с геометрией Эвклида. Но лишь в конце XIX столетия люди поняли, что положения геометрии, описывающие свойства физического пространства, тоже можно и нужно проверять на опыте, как это делают с любыми законами физики. И это было великим открытием.

Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге, в семье зажиточного мастера-водопроводчика, 30 апреля 1777 года. Мальчик часто поражал взрослых своими способностями к счету. Сохранилась даже легенда, как однажды трехлетний Карл поправил отца, допустившего ошибку в расчетах с подсобниками. Можно предположить, что именно эти способности привели юного наследника почтенного ремесленника в стены Геттингенского университета. Здесь студент Карл Гаусс со всей основательностью принялся за изучение математики. Геометрия Эвклида поразила и покорила его. Как и многие другие до него и после, Гаусс отдал немало сил честолюбивому стремлению доказать пятый постулат. Правда, в отличие от других он скоро убедился в принципиальной невозможности его доказательства. Одновременно выяснилась удивительная вещь: пятый постулат был настолько не связан с остальными, что, заменив его другим, можно было построить стройную систему взглядов, может быть, несколько иных, чем эвклидовы, но так же непротиворечивых. Даже допущение ошибочности пятого постулата не входило в противоречие с остальными четырьмя… Нет, молодому Гауссу не удалось превратить пятый постулат Эвклида в теорему. Но эта попытка дала ему прекрасное знание основ геометрии и на всю жизнь привила будущему математику любовь к этой строгой науке.