Пол Хэлперн - Играют ли коты в кости? Эйнштейн и Шрёдингер в поисках единой теории мироздания

В 1940 году математический факультет Института перспективных исследований пригласил Паули стать его временным сотрудником. Руководство выбрало его вместо Шрёдингера (еще на стадии рассмотрения), поскольку считало, что так будет менее рискованно. Оно оценило Шрёдингера как «блестящего, но менее надежного, чем Паули». Еще в 1937 году сравнивая их относительные достоинства, университетское начальство сделало выбор в пользу Паули {142} 142 Institute for Advanced Study School of Mathematics, Confidential Memo, April 19, 1945, IAS Archive, Princeton, NJ. .

Почему математический факультет IAS посчитал Шрёдингера «менее надежным»? Мог ли кто-то в руководстве знать о его необычной семейной ситуации? Поскольку он, по-видимому, обсуждал этот вопрос с президентом Принстонского университета, возможно, слухи дошли до соседнего института. В качестве альтернативной гипотезы можно предположить, что список публикаций Шрёдингера, в который наряду со статьями с математическими расчетами входили философские работы, был расценен как слишком бессистемный. Как бы там ни было, Паули считался более предпочтительной кандидатурой.

Паули был рад покинуть бурлящую военную Европу и переехать в более спокойную часть света. Хотя Цюрих, где он работал, был сравнительно безопасен для человека еврейского происхождения, его близость к гитлеровскому рейху, конечно, не делала этот город идеальным. Поэтому Паули предпочел провести военные годы в Принстоне.

Эйнштейн решил воспользоваться тем, что работает под одной крышей с Паули в Фулд-Холл, и попытаться добиться «общего помещения» и для сил природы. Развив идеи, разработанные совместно с Бергманном и Баргманном, Эйнштейн приступил вместе с Паули к созданию пятимерной модели объединения. Это был один из немногих случаев, когда он работал с известным физиком, а не с ассистентом

Тщательный подход Паули привел их к несомненному выводу, что не существует физически реалистичных решений для таких моделей, которые были бы свободны от сингулярностей (бесконечных членов). Единственные решения, не содержащие сингулярностей, которые они смогли найти, оказались безмассовыми и электрически нейтральными, такими как фотоны, в то время как одной из целей объединения было описание поведения заряженных массивных частиц, таких как электроны.

В 1943 году Эйнштейн и Паули опубликовали совместную статью, в которой указали на отсутствие надежных решений. В то время как «пятимерная теория Калуцы выглядит довольно убедительной, — отметили они, — ее основания являются неудовлетворительными» {143} 143 Albert Einstein and Wolfgang Pauli, “On the Non-Existence of Regular Stationary Solutions of Relativistic Field Equations,” Annals of Mathematics 44 (April 1943): 13. .

Устремления Эйнштейна в многомерные пространства завели в тупик. Он решил отказаться от подхода Калуцы и Клейна и сосредоточиться на теориях со стандартным количеством измерений: тремя пространственными и одним временным. И хотя другие ученые взялись бы за теорию Калуцы — Клейна и попытались преуспеть в этом направлении, Эйнштейн посчитал, что он уже исчерпал ее возможности. Надпись «Не стирать» пришлось стереть с доски. Очевидно, настало время двигаться дальше.

По иронии судьбы, примерно в тот момент, когда Эйнштейн зашел в тупик, у Шрёдингера проснулся энтузиазм. Вдохновленный тремя теоретиками, которыми он восхищался — Эйнштейном, Эддингтоном и Вейлем, — Шрёдингер тоже решил попытать счастья. Он пересмотрел некоторые из своих ранних работ по общей теории относительности и единой теории поля и начал разрабатывать собственный подход.

Поскольку Эйнштейн и Шрёдингер были относительно изолированы в своих институтах, для них было естественно вести переписку о предметах, которыми они оба интересовались. Начиная с зимы 1943 года Шрёдингер стал регулярно писать Эйнштейну о возможности такого расширения общей теории относительности, которое включало бы в себя и другие силы. В канун Нового года он послал Эйнштейну некое подобие поздравления, которое мог написать только физик-теоретик. В письме были приведены уравнения общей теории относительности, выведенные с использованием лагранжева формализма, основанного на гамильтоновом принципе наименьшего действия. В постскриптуме Шрёдингер предлагал модифицировать лагранжиан и изучить полученные полевые уравнения.

Как мы уже писали, Гамильтон разработал принцип наименьшего действия и метод Лагранжа как способы описания движения, предполагающие, что объекты выбирают среди всех возможных траекторий наиболее эффективную, подобно тому, как пионеры, заселявшие территорию Америки, пересекали горные хребты самым быстрым способом, пытаясь свести к минимуму количество спусков и подъемов. Если принять во внимание рельеф и другие факторы, то самый прямой путь на карте может оказаться не самым быстрым и удобным. Аналогично, траектория частицы, движущейся в пространстве, зависит от ландшафта пространства, задаваемого потенциальной энергией. Количественное описание такого ландшафта содержится в лагранжиане, который используется для нахождения уравнений движения.

Как показал Гильберт, уравнения общей теории относительности можно вывести с помощью лагранжиана, который состоит из произведения двух скалярных величин (инвариантов преобразований координат). Одна из них связана с метрическим тензором, который задает правило измерения расстояний между точками в пространстве, а другая — с тензором Риччи (и с тензором Эйнштейна, о котором говорилось ранее), описывающим кривизну пространства. И метрический тензор, и тензор Риччи могут быть представлены в виде матриц размером 4x4. Каждый из них имеет шестнадцать компонент. Но из-за условий симметрии только десять компонент являются независимыми (остальные шесть дублируются). В стандартной общей теории относительности десять независимых компонент тензора кривизны связаны с десятью независимыми компонентами тензора энергии-импульса, представляющего материю и энергию. Иначе говоря, материя и энергия вызывают искривление пространства-времени, причем эта связь описывается десятью независимыми уравнениями.

Кривизна, однако, является лишь одной из характеристик геометрии пространства-времени. Чтобы узнать траектории движения тела в пространстве, необходимо знать еще компоненты метрического тензора, с помощью которого определяется расстояние от одной точки до другой. Эти компоненты задают видоизмененную версию теоремы Пифагора в любой области пространства. Как я уже описывал ранее, метрический тензор — это что-то наподобие навеса над раскаленным песком пустыни, он обозначает области, где песок опускается и поднимается (показывает кривизну) из-за разбросанных по пустыне камней (распределение материи и энергии). Для навеса необходимо построить каркас, который показывает, как шесты (локальные координатные оси) изгибаются при переходе от точки к точке. Связующим звеном для каркаса является аффинная связность. В стандартной общей теории относительности у аффинной связности шестьдесят четыре компоненты, но из-за условий симметрии оказывается, что только сорок из них независимы.