Брайан Грин - Скрытая реальность. Параллельные миры и глубинные законы космоса

Для начала рассмотрим с этой целью идеально круглый бильярдный шар. Его поверхность двумерна (положение точки на его поверхности, как и на поверхности Земли, мы можем задать двумя фрагментами данных — скажем, широтой и долготой, — а именно это мы и подразумеваем, когда говорим, что форма двумерна) и совершенно однородна в том смысле, что любое место на ней неотличимо от остальных. Математики называют поверхность бильярдного шара двумерной сферой и говорят, что она имеет постоянную положительную кривизну . «Положительность» здесь означает, грубо говоря, что ваше отражение в сферическом зеркале будет выглядеть раздувшимся наружу, а «постоянность» — что любая сторона сферы будет одинаково искажать отражение.

Теперь представим себе идеально гладкий стол. Поверхность стола, как и поверхность бильярдного шара, однородна (или почти однородна). Если бы вы были муравьём, гуляющим по столу, вашему взору открывался бы один и тот же вид, где бы вы ни находились — при условии, что это далеко от края стола. Впрочем, восстановить полную однородность не так уж трудно: мы просто должны вообразить стол без краёв. Сделать это можно двумя путями. Представьте себе стол, который бесконечно тянется влево, вправо, вперёд и назад. Это не совсем обычный стол — его поверхность бесконечна, — но упасть с него нельзя, а значит, мы достигли поставленной цели — убрали края. Альтернативный вариант — поверхность, имитирующая старую компьютерную игру: когда мистер Пакман исчезает за левым краем, он немедленно появляется у правого края; когда он уходит за край экрана снизу, он тут же возникает сверху. Ни один обычный стол не обладает таким свойством, но это вполне осязаемая геометрическая фигура, называемая двумерным тором . В примечаниях я обсуждаю эту фигуру более полно, {8} 8 Двумерный тор обычно изображается как пустой бублик. Двухшаговый процесс показывает, что эта картинка согласована с приведённым в тексте книги описанием. Когда, достигнув правого края экрана, вы попадаете назад на левый край, это равносильно отождествлению всего правого края с левым краем. Если бы экран был гибким (например, из тонкого пластика), то такое отождествление могло бы быть буквальным, если скатать экран в цилиндр и объединить вместе правый и левый края. Когда, ступив на верхний край, вы попадаете в нижний, то это тоже равносильно отождествлению этих краёв. Это достигается явным образом на втором шаге, в котором мы скручиваем цилиндр и соединяем верхний и нижний круговые края. Получившаяся фигура выглядит как обычный бублик. Обманчивый аспект этих манипуляций состоит в том, что поверхность бублика выглядит искривлённой; если его поверхность покрыть отражающей краской, то ваше отражение будет искажено. Это артефакт реализации тора в виде объекта, расположенного в объемлющем трёхмерном пространстве. В действительности, являясь двумерной поверхностью, тор не искривлён. Он плоский. Что очевидно, если его представить в виде плоского экрана для видеоигр. Именно поэтому в тексте книги я выбрал более фундаментальное описание в виде фигуры, края которой попарно отождествляются. здесь же стоит подчеркнуть только две её характеристики: подобно бесконечному столу, экран компьютерной игры однороден и не имеет краёв. Границы являются кажущимися: мистер Пакман может пересечь их и при этом остаться в игре.

Математики говорят, что бесконечный стол и экран компьютерной игры — это поверхности постоянной нулевой кривизны . Слово «нулевая» говорит о том, что и зеркальный стол, и зеркальный компьютерный экран отразят вас без искажений, а слово «постоянная», как и прежде, означает, что ваше отражение будет выглядеть одинаково вне зависимости от того, напротив какой точки поверхности вы встанете. Разница между этими двумя формами проявляется только в глобальной перспективе. Если вы отправитесь в поездку по бесконечному столу, сохраняя постоянное направление, вы не вернётесь домой никогда; на экране компьютерной игры вы можете объехать всю фигуру и вернуться в пункт отправления, ни разу не повернув руль.

Наконец, ломтик картофельных чипсов «Принглс», если его бесконечно продолжить во все стороны (это несколько труднее изобразить), даёт представление об ещё одной однородной фигуре, про которую математики говорят, что она имеет постоянную отрицательную кривизну . Это означает, что ваше отражение в любой точке зеркальной чипсины будет выглядеть сжатым внутрь.

К счастью, эти описания двумерных однородных фигур без усилий расширяются на интересующий нас случай трёхмерного космического пространства. Положительная, отрицательная или нулевая кривизна — однородное раздувание, однородное сжатие или отсутствие искажений — с тем же успехом характеризуют трёхмерные однородные формы. В действительности нам повезло дважды, поскольку хотя трёхмерные формы очень трудно изобразить (представляя себе форму, наше сознание помещает её в некое окружение — аэроплан в пространстве, планета в пространстве, — но когда дело доходит до пространства, нет никакого окружения, в котором содержалось бы само пространство), трёхмерные однородные формы являются столь точными математическими аналогами своих двумерных родственников, что мы ничего не потеряем, когда станем делать то же, что делает большинство физиков, — мысленно использовать двумерные примеры.

В приведённой ниже таблице я перечислил возможные варианты формы пространства, подчеркнув, что одни из них имеют конечную протяжённость (сфера, экран компьютерной игры), а другие — бесконечную (бесконечный стол и бесконечная чипсина). Таблица 2.1 не является полной. Существуют другие возможные формы, которые носят загадочные названия вроде бинарного тетраэдрального пространства и додекаэдрального пространства Пуанкаре , также имеющие однородную кривизну; я не включил их сюда, поскольку их сложнее наглядно изобразить с помощью повседневных предметов. Они могут быть построены, если подходящим образом нарезать и скомпоновать уже знакомые пространства из нашего списка, так что табл. 2.1 в действительности даёт вполне представительную выборку. Однако все эти подробности второстепенны для нашего ключевого вывода: требование однородности космоса, отражённое в формулировке космологического принципа, существенным образом ограничивает набор возможных форм вселенной. Одни из этих форм имеют бесконечную пространственную протяжённость, другие — нет. {9} 9 Искушённый в математике читатель заметит, что под словами «подходящим образом нарезать и скомпоновать» я подразумеваю факторпространства, которые возникают при факторизации односвязных накрывающих пространств по дискретным группам изометрии.