Пол Девис - Суперсила

Более наглядное и ясное представление о трехмерности можно получить с помощью другой схемы, основанной на указании местоположения точек в пространстве. Представьте себе, что вам необходимо встретиться с приятелем в заранее обусловленном месте. В этом случае можно указать географическую широту и долготу выбранного места; пусть это будет, например, Эмпайрстейт билдинг. Но в этом случае остается еще одна неопределенная величина – высота. На каком этаже должна состояться встреча? Итак, в общей сложности необходимо указать три независимых числа для того, чтобы однозначно определить положение точки в пространстве. По этой причине такое пространство называют трехмерным.

Рис.23. Двумерная вселенная. Плоское существо, живущее во Флатландии, не имеет представления о “верхе” и “низе”. Шар, пронизывающий плоский мир, воспринимается этим существом как двумерный объект, меняющий свою форму.

Теория относительности обнаружила, что пространство переплетено со временем, поэтому в действительности следует говорить не об одном только пространстве, а о пространстве-времени. В какой день.вы собираетесь встретиться с приятелем в здании Эмпайр-стейт-билдннг? Указание времени события требует задать единственное число (“дату”), так что время одномерно. Объединяя пространство и время, мы приходим к четырехмерному пространству-времени.

Когда мы пытаемся наглядно представить дополнительные измерения, например, четвертое пространственное измерение (в этом случае полное пространство-время насчитывает пять измерений), нашей интуиции оказывается недостаточно. Для облегчения задачи можно обратиться к аналогии. Вообразим двумерное “блинообразное” создание, которое обречено существовать только на поверхности; у него отсутствуют представления о “верхе” и о “низе”. На рис. 23 изображена такая плоская вселенная. Мы можем догадываться, что эта поверхность в действительности “вложена” в трехмерное пространство, однако обитатель плоского мира не в состоянии понять эту более широкую точку зрения. Он воспринимает только события, происходящие на самой поверхности.

Возникает вопрос: а что будет наблюдать это создание, когда поверхность пересекается трехмерным объектом? Поверхность рассечет этот объект, причем размеры и форма сечения будут в общем случае изменяться по мере прохождения объекта. Так, сечение сферы в первый момент будет выглядеть как точка, которая, постепенно “расплываясь”, превратится в круг все увеличивающегося радиуса; достигнув максимального радиуса, круг начнет уменьшаться в размерах, напоследок снова превратившись в точку. Более сложные объекты будут создавать при прохождении следы более сложного сечения.

Рассуждая далее, по аналогии можно предположить, что четыре измерения пространства-времени “вложены” во вселенную, имеющую пять или даже большее число измерений. Геометрию такой вселенной трудно вообразить, однако с помощью математики можно построить законченное логическое описание ее. Математики уже давно обобщили законы геометрии на случай пространства с произвольным числом измерений (включая бесконечно большое). Поэтому смысл многомерных пространств вполне можно понять, хотя непосредственному восприятию доступно лишь триизмерения.

Какие особенности присущи четырехмерному пространству? Один из аспектов размерности касается числа взаимно перпендикулярных направлений, которые существуют в данном пространстве. Например, пространство этой страницы двумерно. Если положить ее на стол, то в любом из углов края страницы образуют две прямые линии, перпендикулярные друг к другу. Из того же угла невозможно провести третью прямую, лежащую в плоскости страницы и перпендикулярную обоим ее краям. Однако направление такой прямой удастся найти, если выйти из плоскости страницы и начертить вертикальную линию. Таким образом, в трехмерном пространстве в отличие от двумерной поверхности страницы существует три взаимно перпендикулярных направления.

В четырехмерном пространстве удалось бы найти четыре взаимно перпендикулярных направления. На рис. 24 изображен случай трех измерений: три взаимно перпендикулярные прямые исчерпывают максимально возможное число таких прямых. Как бы мы ни старались, мы никогда не найдем в обычном пространстве прямую, перпендикулярную всем трем. Любая прямая, перпендикулярная трем названным, должна идти в направлении, не принадлежащем нашему пространству. И хотя мы не в состоянии представить как проходит подобная прямая, очевидно, что формально она могла бы существовать. Ее можно описать, а именно вычислить и систематизировать ее геометрические параметры.

Рис. 24. Вершины прямоугольного параллелепипеда образованы тремя взаимно перпендикулярными прямыми линиями. В трехмерном пространстве из вершины нельзя провести ни одной прямой, которая была бы перпендикулярна всем трем ребрам.

Рис. 25. Знаменитая теорема Пифагора, связывающая между собой длины сторон прямоугольного треугольника, а, b, х, без труда обобщается на случай больших размерностей.

Простым примером сказанного может служить знаменитая геометрическая теорема древнегреческого геометра Пифагора, которая знакома любому школьнику. Эта теорема относится к прямоугольным треугольникам; на рис. 25 длины сторон такого треугольника обозначены соответственно а, b , х. Теорема Пифагора утверждает, что эти величины связаны между собой простой формулой х^2 = а^2 +b^2. Если положить для удобства а = 3, b = 4, то х = 5, поскольку 52 = З2 + 42.

Треугольник, изображенный на рис. 25, является, очевидно, двумерным объектом, однако теорему Пифагора можно без труда обобщить на случай трех измерений. На рис. 26 изображен прямоугольный ящик (параллелепипед) со сторонами а, b, с. Теорема Пифагора в этом случае относится к длине х диагонали, проведенной между противоположными вершинами ящика. Соответствующая формула имеет вид х^2 = а^2+b^2+с^2, очень сходный с двумерным случаем; однако теперь для вычисления длины диагонали нам необходимо знать длины трех взаимно перпендикулярных сторон.

В четырехмерном пространстве для нахождения длины диагонали пришлось бы использовать длины четырех взаимно перпендикулярных сторон, а, b, с и d. В этом случае формула имела бы вид x^2 = а^2 + b^2 + с^2 + d^2. Таким образом, хотя нам и не удается вообразить четырехмерный ящик, мы в состоянии детально проанализировать его геометрические свойства.