Альберт Эйнштейн - Эволюция физики

Вектор на рис. 9 указывает предполагаемое направление равномерного движения в случае, если бы все внешние силы исчезли. Это так называемое тангенциальное, или касательное, направление. Если смотреть на движущуюся частицу через микроскоп, то можно увидеть очень небольшую часть ее пути, представляющуюся в виде небольшого, едва искривленного отрезка. Касательная линия является его продолжением. Нарисованный таким образом вектор представляет скорость в данный момент. Вектор скорости лежит на касательной. Его длина представляет собой численную величину скорости или ту скорость, которая указывается, например, спидометром автомашины.

Наш идеализированный эксперимент, в котором уничтожены силы для того, чтобы найти вектор скорости, нельзя принимать слишком серьезно. Он только помогает нам понять, чтоґ мы должны называть вектором скорости при криволинейном движении, и позволяет нам определить его для данного момента в данной точке.

На рис. 10 показаны векторы скорости для трех различных положений частицы, движущейся вдоль кривой. В этом случае во время движения меняются не только направления, но и величины скорости, как показывает длина векторов.

Удовлетворяет ли это новое понятие скорости требованию, сформулированному для всех обобщений? Иначе говоря, сводится ли оно к прежнему понятию скорости, если кривая становится прямой? Очевидно, да. Касательная к прямой есть сама прямая. Вектор скорости лежит на линии движения, так же как это было в случае движущейся тележки или катящегося шара.

Следующий шаг — это введение изменения скорости частицы, движущейся вдоль кривой. Оно также может быть выполнено различными путями, из которых мы выберем самый простой и удобный. Рис. 10 показывал несколько векторов скоростей, представляющих движение вдоль кривой, в разных точках. Первые два из них можно опять нарисовать так, чтобы они имели общую исходную точку (рис. 11), что, как мы видели, возможно проделывать с векторами. Пунктирный вектор мы называем изменением скорости. Его начальная точка представляет собой конец первого вектора, а конечная точка — конец второго вектора. Этим и определено изменение скорости. Такое определение может, на первый взгляд, показаться искусственным и бессмысленным. Оно становится гораздо яснее в частном случае, в котором векторы 1 и 2 имеют одинаковое направление (рис. 12). Конечно, это означает переход к случаю прямолинейного движения. Если оба вектора имеют одну и ту же начальную точку, то пунктирный вектор опять связывает их конечные точки. Рис. 12 совпадает с рис. 6, а прежнее понятие оказывается частным случаем нового понятия. Следует заметить, что мы должны были разделить обе линии на рисунке, ибо иначе они совпали бы и стали бы неразличимыми.

Теперь мы должны сделать последний шаг в процессе обобщения. Это будет самой важной из всех догадок, которые мы сделали до сих пор. Связь между силой и изменением скорости должна быть установлена так, чтобы можно было найти путеводную нить, которая поможет нам понять общие проблемы движения.

Путь к объяснению движения вдоль прямой был весьма прост: внешняя сила вызывает изменение скорости; вектор силы имеет то же направление, что и изменение скорости. Но что теперь следует выбрать в качестве путеводной нити в случае криволинейного движения? Совершенно то же самое! Единственное различие в том, что изменение скорости понимается теперь в более общем смысле, чем раньше. Достаточно взглянуть на пунктирные векторы (см. рис. 11 и 12), чтобы все стало ясно. Если скорость известна для всех точек кривой, то направление силы в любой точке может быть найдено сразу же. Нужно нарисовать векторы скорости для двух моментов, отделенных очень короткими интервалами времени, а стало быть, соответствующих положениям, очень близким друг к другу. Вектор, проведенный из конца первого вектора к концу второго, показывает направление действующей силы. Но существенно, что оба вектора скорости должны быть отделены лишь «очень коротким» интервалом времени. Строгий анализ таких слов, как «очень близкий», «очень короткий», далеко не прост. Именно этот анализ привел Ньютона и Лейбница к открытию дифференциального исчисления.

Путь, который привел к обобщению идеи Галилея, длинен и извилист. Мы не можем показать здесь, сколь изобильными и плодотворными оказались последствия этого обобщения. Его применение приводит к простому и удобному объяснению многих явлений, которые считались несвязанными друг с другом и истолковывались неправильно. Из всего разнообразия движений мы возьмем лишь самое простое и применим к его объяснению только что сформулированные законы.

Пуля, выпущенная из ружья, камень, брошенный под углом к горизонту, струя воды, выходящая из трубы, — все они описывают хорошо известную траекторию одного и того же типа — параболу. Вообразим себе, например, что к камню прикреплен спидометр, так что вектор скорости камня может быть определен для любого момента. Результат представлен на рис. 13. Направление действующей на камень силы совершенно такое же, как и направление изменения скорости; мы уже видели, как его можно определить. Рис. 14 показывает, что сила вертикальна и направлена вниз.

Совершенно то же самое мы видим, рассматривая движение камня, брошенного с вершины башни. Пути, а также и скорости, совершенно различны, но изменения скоростей имеют одинаковое направление — к центру Земли.

Камень, привязанный к веревке и вращающийся в горизонтальной плоскости, движется по окружности. Все векторы на диаграмме, представляющей это движение, имеют одинаковую длину, если величина скорости постоянна (рис. 15). Тем не менее вектор скорости непрерывно меняется, так как траектория не прямолинейна. Только в случае равномерного прямолинейного движения не действуют никакие силы. Здесь же сила налицо, и скорость изменяется, но не по величине, а по направлению. Согласно закону движения, должна существовать некоторая сила, вызывающая это изменение; в данном случае сила действует между камнем и рукой, держащей веревку.

Сразу же возникают дальнейшие вопросы: в каком направлении действует сила? Опять векторная диаграмма дает ответ. На рис. 16 даны векторы скоростей для двух очень близких точек и найдено ускорение. Видно, что вектор ускорения должен быть направлен вдоль веревки к центру окружности и всегда перпендикулярен вектору скорости или касательной. Другими словами, рука через веревку воздействует с некоторой силой на камень.

Совершенно аналогичен и более важный пример — обращение Луны вокруг Земли. Обращение Луны можно считать приблизительно равномерным круговым движением. Сила, действующая на Луну, направлена к Земле, по тем же причинам, по которым в предыдущем примере она была направлена к руке. Никакой веревки, связывающей Луну и Землю, нет, но мы можем представить себе линию между центрами обоих тел; сила направлена по этой линии к центру Земли, как и сила, действующая на камень, подброшенный над землей или падающий с башни.