Александр Китайгородский - Физика для всех. Движение. Теплота

Используем опять тот же прием – разложим вектор начальной скорости на две составляющие: по вертикали скорость равна v 1, а по горизонтали – v 2. Время от момента выстрела до момента достижения пулей наивысшей точки пути равно v 1/ g . Обратим внимание на то, что столько же времени пуля будет падать вниз, т.е. полное время полета до падения пули на землю есть 2 v 1/ g .

Так как движение по горизонтали равномерное, то дальность полета равна

(при этом мы пренебрегли высотой ружья над уровнем земли).

Мы получили формулу, которая показывает, что дальность полета пропорциональна произведению составляющих скорости. При каком же направлении выстрела это произведение будет наибольшим? Этот вопрос можно выразить на языке геометрии. Скорости v 1и v 2образуют прямоугольник скоростей; диагональю в нем служит полная скорость v . Произведение v 1 v 2равно площади этого прямоугольника.

Наш вопрос сводится к следующему: при заданной длине диагонали какие надо взять стороны, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей? В геометрии доказывается, что этому условию удовлетворяет квадрат. Значит, дальность полета пули будет наибольшей, когда v 1= v 2, т.е. тогда, когда прямоугольник скоростей обращается в квадрат. Диагональ квадрата скоростей образует с горизонталью угол в 45° – под таким углом и надо держать ружье, чтобы пуля летела как можно дальше.

Если v – полная скорость пули, то в случае квадрата v 1= v 2= v /sqrt(2). Формула дальности полета для этого лучшего случая выглядит так: S = v 2/ g , т.е. дальность будет вдвое больше, чем высота подъема при выстреле вверх с той же начальной скоростью.

Высота подъема при выстреле под углом в 45° будет h = v 1 2/2 g = v 2/4 g , т.е. в четыре раза меньше дальности полета.

Надо признаться, что формулы, которыми мы оперировали, дают точные результаты лишь в случае, довольно далеком от практики, – при отсутствии воздуха. Сопротивление воздуха во многих случаях играет решающую роль и в корне меняет всю картину.

Если точка движется по окружности, то движение является ускоренным, уже хотя бы потому, что в каждый момент времени скорость меняет свое направление. По величине скорость может оставаться неизменной, и мы остановим внимание именно на подобном случае.

Будем рисовать векторы скорости в последовательные промежутки времени, помещая начала векторов в одну точку. (Мы имеем на это право.) Если вектор скорости повернулся на небольшой угол, то изменение скорости, как мы знаем, изобразится основанием равнобедренного треугольника. Построим изменения скорости за время полного оборота тела (рис. 17). Сумма величин изменений скорости за время полного оборота будет равна сумме сторон изображенного многоугольника. Строя каждый треугольничек, мы молчаливо предполагали, что вектор скорости изменился скачком, на самом же деле направление вектора скорости меняется непрерывно. Совершенно ясно, что ошибка будет тем меньше, чем меньше мы будем брать угол треугольничка. Чем меньше стороны многоугольника, тем он теснее прижимается к окружности радиуса v . Поэтому точным значением суммы абсолютных величин изменений скорости за время оборота точки будет длина окружности 2π v . Величина ускорения найдется делением ее на время полного оборота T .

Итак, величина ускорения в равномерном движении по окружности выражается формулой а = 2π v / T .

Но время полного оборота при движении по окружности радиуса R может быть записано в виде T = 2π R / v .

Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим для ускорения: a = v 2/ R .

При неизменном радиусе вращения ускорение пропорционально квадрату скорости. При данной скорости ускорение обратно пропорционально радиусу.

Это же рассуждение показывает нам, как направлено в каждое данное мгновение ускорение кругового движения. Чем меньше угол при вершине равнобедренных треугольников, которые мы использовали для доказательства, тем ближе к 90° угол между приростом скорости и скоростью.

Значит, ускорение равномерного кругового движения направлено перпендикулярно к скорости; а как же скорость и ускорение направлены по отношению к траектории? Поскольку скорость есть касательная к пути, то ускорение направлено по радиусу и притом к центру окружности. Эти соотношения хорошо видны на рис. 18.

Попробуйте покрутить камень на веревке. Вы отчетливо ощутите необходимость для этого мускульного усилия. Зачем же нужна сила? Ведь тело движется равномерно? Вот в том-то и дело, что нет. Тело движется с неизменной по величине скоростью, но непрерывное изменение направления скорости делает это движение ускоренным. Сила необходима для того, чтобы отклонить тело от инерциального прямого пути. Сила нужна для того, чтобы создать то ускорение v 2/ R , которое мы только что вычислили.

Согласно закону Ньютона, куда направлено ускорение, туда смотрит и сила. Значит, тело, вращающееся по окружности с неизменной скоростью, должно находиться под действием силы, направленной по радиусу к центру вращения. Сила, действующая на камень со стороны веревки, и обеспечивает ускорение v 2/ R . Значит, величина этой силы есть mv 2/ R .

Веревка тянет камень, камень тянет веревку. Мы узнаем в этих двух силах «предмет и его изображение в зеркале» – силы действия и противодействия. Часто силу, с которой камень действует на веревку, называют центробежной. Центробежная сила равна, разумеется, mv 2/ R и направлена по радиусу от центра вращения. Центробежная сила приложена к тому телу, которое противодействует инерциальному стремлению вращающегося тела двигаться прямолинейно.

Сказанное относится и к случаю, когда роль «веревки» играет сила тяжести. Луна вращается вокруг Земли. Что удерживает нашего спутника? Почему, следуя закону инерции, он не уходит в межпланетное путешествие? Земля держит Луну «невидимой веревкой» – силой притяжения. Эта сила равна mv 2/ R , где v – скорость движения по лунной орбите, а R – расстояние до Луны. Центробежная сила приложена в этом случае к Земле, но благодаря большой массе Земли она лишь незначительно влияет на характер движения нашей планеты.