Владимир Успенский - Апология математики (сборник статей)

Парадокс кучи.Это один из самых известных и древних парадоксов. Ясно, что если из кучи песка удалить одну песчинку, то оставшееся всё ещё будет кучей. Но ведь, повторив данную операцию достаточное количество раз, мы дойдём до одной-единственной песчинки, каковая кучу не образует. Где же граница между кучей и не кучей? Ответ очевиден: слово «куча» имеет расплывчатый смысл, и потому искать точные границы этого смысла бесполезно.

Парадокс наименьшего числа. Возьмём «наименьшее натуральное число, которое не допускает определения посредством фразы, содержащей менее ста слов». С одной стороны, это число не допускает определения посредством менее ста слов. С другой стороны, взятая в кавычки фраза является его определением, причём таким, которое содержит менее ста слов. Разгадка в том, что мы обращаемся с выражением «определять натуральное число» так, как если бы оно имело точный смысл, какового в действительности оно не имеет. Достаточно задаться вопросом, какие слова можно использовать в определении. Можно ли, например, употреблять названия редких растений, известные лишь узкому кругу ботаников, или специальные математические термины, или собственные имена людей (притом что каждое такое имя принадлежит, как правило, нескольким людям)? Наш парадокс как раз и показывает, что обсуждаемому выражению точный смысл придать невозможно.

Парадокс гетерологичности. Назовём прилагательное гомологическим , если оно обладает тем свойством, которое это прилагательное выражает; в противном случае назовём его гетерологическим . Примеры: прилагательное «многосложный» само многосложно и потому является гомологическим; прилагательное «односложный» не односложно и потому является гетерологическим. Гомологично или гетерологично прилагательное «гетерологический»? Если оно гомологично, то, значит, обладает свойством, которое выражает, а свойство это – 'гетерологичность'; значит, рассматриваемое прилагательное гетерологично. Если же оно гетерологично, то, обладая выражаемым им свойством гетерологичности, должно квалифицироваться как гомологическое. Всё дело в том, что слова «гомологический» и «гетерологический» не обладают точным смыслом, в презумпции какового происходит рассуждение. Толкование этих слов опирается на толкование словосочетания «свойство, выражаемое прилагательным», а при толковании этого словосочетания возникают значительные трудности. Возьмём для примера прилагательное «простой». Возможно ли недвусмысленно указать свойство, выражаемое этим прилагательным? Где граница между простыми и непростыми сущностями? И обладают ли этим свойством простые дроби, простые числа, простые вещества, простые эфиры и василистник простой (растение семейства лютиковых)?

Вернёмся, однако, к тому, чем математика может быть полезна всем, в частности гуманитариям.

Воспитываемая на уроках математики дисциплина мышления помогает в числе прочего отчетливо разграничивать и различать истину и ложь (в вышеуказанном – математическом – значении последнего слова), доказанное и всего лишь гипотетическое, ведь нигде эти различия не проявляются с такой чёткостью, как в математике.

Автору очень хочется сказать, что математика – единственная наука, где достигается абсолютная истина, но он всё же на это не решается, так как подозревает, что абсолютная истина не достигается нигде.

В любом случае математические истины ближе к абсолютным, чем истины других наук. Поэтому математика – наилучший полигон для тренировки на истину. Истина – основной предмет математики.

Духовная культура состоит не столько в знаниях, сколько в нормах. Нормы проявляются прежде всего в противопоставлениях. Эстетика учит нас противопоставлению между прекрасным и безобразным, высоким и низким. Этика – между должным и недолжным, между нравственным, моральным и безнравственным, аморальным. Юриспруденция – между законным, правовым и незаконным, неправовым. Логика – между истинным и ложным.

Но логика сама по себе не создаёт истин. Её законы носят условный характер: если то-то и то-то истинно, то неизбежно истинно то-то и то-то. (Точно так же теория вероятностей не назначает и не может назначать вероятности того или иного события, а лишь указывает, как по одним вероятностям вычислять другие. Например, она не утверждает, что при подбрасывании монеты выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая; она утверждает лишь, что если при одном броске выпадение орла имеет вероятность одна вторая и если результаты бросков не зависят друг от друга, то выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая.) Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай – человек, то и он, Кай, смертен.

Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, это ставит математику на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: её и только её истины могут претендовать на приближение к абсолюту, и они если не «совершенно», то «почти» абсолютны.

Приходится, однако, признать – математику со вздохом, гуманитарию с удовлетворением, – что в этой приближённости математических истин к абсолютным состоит некоторая ограниченность математики. Потому что тот мир, который дан нам в ощущениях, более адекватно отображается скорее в истинах, достаточно далёких от абсолютных.

Даже почитавшиеся незыблемыми законы Ньютона оказались пригодны лишь для сравнительно узкой полосы между микро- и макромирами, а вне этой полосы они требуют замены законами теории относительности.

Что уж говорить о так называемых прописных истинах гуманитарной сферы, будь то истины моральные или эстетические, которые с трудом поддаются, а то и вообще не поддаются оценке в терминах «верно» и «неверно».

Казалось бы, что может быть важнее и первичнее, чем умение отличать истинные высказывания от высказываний ложных? Однако ещё более важным, ещё более первичным является умение отличать осмысленные высказывания от бессмысленных.

Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «Рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Это заявление бессмысленно, поскольку такой совокупности не существует. В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву «р» и потому должны принадлежать этой совокупности. Слово «око» должно принадлежать этой совокупности, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно ей принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр».

Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать всего лишь как ложное. Чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.