Александр Ивин - Философское исследование науки

Вместе с тем определение истины как полезности, несмотря на его уязвимость для критики, достаточно широко используется в науке. Оно замещает классическое истолкование истины в тех случаях, когда сопоставление новых идей с действительностью оказывается затруднительным, а то и просто невозможным. Такие ситуации обычно в социальных и гуманитарных науках, имеющих дело с неустойчивыми, «текучими» фактами и постоянно меняющейся реальностью. Хорошо известны, например, социальные концепции либерализма, консерватизма и социализма. Во многих аспектах они несовместимы друг с другом. Можно ли, отвлекаясь от понятий полезности и успеха в практической деятельности, говорить об истинности одной из этих концепций и ложности двух других? – Вряд ли. Это тем более маловероятно, что социальные концепции формулируют определенные оценки, не являющиеся истинными или ложными: «Индивидуальная свобода предпочтительнее надежной социальной защищенности»; «Коллективные ценности, связанные с органическими социальными целостностями, подобными морали и государству, стоят выше индивидуальных ценностей»; «Реализация глобальной социальной цели построения совершенного общества требует ограничения потребностей человека минимальными, естественными потребностями» и т. п.

Определение истины как полезности и того, что приводит к успеху, используется не только в науках о культуре, но и в формальных науках. Истина как когеренция – наиболее частое, а иногда и единственно возможное понимание истины в математике и в абстрактных, далеких от опыта областях науки. Но согласие вновь вводимого положения с системой утверждений, принятых в конкретной области научного знания, обычно определяется степенью полезности этого положения для данной области и смежных с нею отраслей знания. Согласие и полезность оказываются, таким образом, тесно связанными друг с другом.

Взаимные отношения трех основных истолкований истины можно проиллюстрировать на примере двух абстрактных математических принципов, предлагаемых для расширения теории множеств. Ни «наивная» теория множеств Г. Кантора, ни предложенная Э. Цермело и А. Френкелем формальная аксиоматизация этой теории не давали ответа на многие, казалось бы, простые вопросы о множествах, причем о множествах, широко использующихся в математических исследованиях. Требовались новые, дополнительные принципы, позволяющие лучше организовать мир множеств и наделить множества более определенными свойствами. В качестве таких принципов были предложены, в частности, аксиома выбора (1904 г.) и аксиома детерминированности (1964 г.).

Аксиома выбора сразу же вызвала серьезные возражения как своей формулировкой, не похожей на формулировки других теоретико-множественных аксиом, так и своими следствиями, утверждающими существование множеств, лишенных какой-либо индивидуальности, но влекущих следствия, утверждающие существование множеств, свойства которых кажутся явно парадоксальными. В частности, аксиома выбора позволила доказать разбиение шара (поверхность+внутренность) на конечное число частей, из которых без наложений и пустот составляются два шара того же радиуса.

Как было показано, к теории множеств можно присоединять без противоречия как саму аксиому выбора, так и ее отрицание. Это означает, что эту аксиому нельзя ни доказать, ни опровергнуть традиционными средствами математических рассуждений. Однако чем более абстрактными являются математические объекты, попадающие в область исследования, тем в большей степени оказывается необходимой аксиома выбора. При изучении общих топологических пространств, произвольных множеств, мощностей и порядковых чисел эта аксиома оказывается органически включенной в структуру многих построений и рассуждений.

Следствия аксиомы детерминированности, как правило, противоречат следствиям аксиомы выбора, но обычно более согласованы с естественной интуицией множеств. Аксиома детерминированности позволяет, кроме того, решить многие из тех проблем, которые не поддаются решению с помощью аксиомы выбора.

Решающим следствием в пользу принятия аксиомы детерминированности является богатство ее следствий во многих разделах теории множеств, дающих удивительно стройную и согласованную картину мира множеств. Данная аксиома пригодна не только для устранения парадоксальных множеств, даваемых аксиомой выбора, но и для построения таких примеров множеств, которые вообще нельзя получить с помощью последней.

Таким образом, аксиома выбора и аксиома детерминированности нередко порождают противоположные следствия в тех областях, где они применимы. Какую из этих двух аксиом следует принять в качестве расширения традиционной теории множеств? Развитие математических дисциплин, связанных с основаниями математики, пока не дает окончательного ответа на этот вопрос.

«Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий аксиомы выбора и аксиомы детерминированности со складывающейся математической интуицией» [73] Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М., 1984. С. 63. . В. Г. Кановей высказывает, в частности, предположение, что если аксиома детерминированности позволит построить топологическую теорию, сравнимую по красоте и богатству следствий с созданной к настоящему времени топологией на основе аксиомы выбора, то будет снято едва ли не самое серьезное препятствие на пути широкого признания аксиомы детерминированости.

Аксиома выбора и аксиома детерминированности чересчур абстрактны, чтобы можно было предположить, что они могут быть каким-то образом сопоставлены с эмпирическими данными. Данные аксиомы не входят в состав более частных математических теорий, которые могли бы быть использованы в конкретных научных теориях, допускающих сопоставление с опытом. Это заставляет предположить, что понятие истины как корреспонденции не приложимо к аксиомам выбора и детерминированности.

Вместе с тем два других истолкования истины – истина как когеренция и истина как полезность – применимы для оценки рассматриваемых аксиом. При этом согласованность и полезность являются взаимно поддерживающими друг друга свойствами рассматриваемых математических утверждений. Согласованность и полезность не являются, однако, единственными способами обоснования данных аксиом и утверждений подобного им типа. Обычная в математике ссылка на интуицию хотя и опирается в известной степени на согласованность и полезность, является, в общем-то, независимым от них доводом. Точно так же ссылка на богатство следствий, получаемых в результате принятия одного из двух конкурирующих утверждений, как и ссылка на общий принцип, что красивая теория не способна быть ложной или что она по меньшей мере предпочтительнее менее совершенной в эстетическом плане теории, не являются аргументами, связанными сколько-нибудь непосредственно с истолкованием понятия истины.