Эдвин Эбботт - Флатландия. Сферландия

Вместе с тем нельзя не отметить, что во Флатландии, и даже в Сферландии, с точки зрения физики не все обстоит благополучно. На первый взгляд кажется, что обитатели двумерия действительно не могут ничего узнать о существовании третьего измерения. Уступая искусству авторов, читатели склонны согласиться и с тем, что четвертое измерение, возможно, существует, но просто недоступно нашему непосредственному восприятию.

Все это правильно лишь до тех пор, пока речь идет о геометрии и о механике. (Кстати, говоря об измерении расстояний при помощи света, автор «Сферландии» действует в приближении геометрической оптики: свет распространяется в виде «лучей», а не «волновых фронтов»!) Прямая «выглядит» одинаково и в двух, и в трех измерениях, и по траектории материальной точки нельзя определить размерность того пространства, в котором она движется. Но стоит лишь от механики частиц перейти к распространению волн, как все изменяется.

Если в двумерном мире распространяются колебания, то картина будет различной в зависимости от того, будут ли сами колебания истинно двумерными или двумерны лишь приборы и наблюдатель, регистрирующие трехмерные колебания. Колебания, происходящие в трехмерном пространстве, нельзя удержать на двумерной поверхности: они будут расходиться в трех измерениях, и двумерный наблюдатель обнаружит утечку энергии. (Удержать на плоскости можно лишь цилиндрическую волну, излучаемую перпендикулярным плоскости стержнем. Однако цилиндрическая волна, пройдя через какую-то точку, не исчезнет бесследно. Она оставит за собой «хвост» — колебания, приходящие от все более и более удаленных точек излучателя.) В теории дифференциальных уравнений доказывается, что волны в пространствах четной и нечетной размерностей ведут себя неодинаково. Различаются по своему поведению в пространствах четной и нечетной размерностей и волновые функции. Изучая квантовые свойства атома, можно убедиться в том, что наше пространство трехмерно.

Более того, даже в обычной механике «изгнать» трехмерность пространства далеко не просто. Например, используя при решении задачи принцип наименьшего действия, мы сравниваем действие вдоль всех возможных траекторий. При этом, разумеется, немаловажную роль играет выбор класса допустимых траекторий. Разрешив сравнивать траектории, выходящие за пределы трехмерного пространства, мы будем вынуждены приписать такому расширению нашего мира конкретные физические свойства, например высказать какие-то утверждения о скорости распространения света, характере полей и т. п. вдоль четвертого измерения, ибо в противном случае любая «волновая задача» утратит смысл. Следовательно, если бы наш трехмерный мир был вложен в четырехмерное пространство (подчеркнем, что речь идет не о четырехмерном пространстве — времени, а о четырех пространственных измерениях!), то физические свойства четвертого измерения мы могли бы изучить, оставаясь в своем трехмерном пространстве. Справедливость законов волновой механики и термодинамики убедительно свидетельствует о том, что наш мир истинно трехмерен. Аналогичным образом мог бы узнать о размерности того пространства, к которому он прикован по воле авторов «Флатландии» и «Сферландии», и обитатель двумерного мира.

Быть может, сын или внук Шестиугольника еще напишут о тех изменениях во взглядах на структуру пространства, которые произошли в Сферландии при жизни их поколения.

Более традиционному комбинаторному изложению первоначальных сведений из геометрии четырехмерного пространства посвящены очерки, составляющие дополнение к «Флатландии» и «Сферландии». Их авторы — участники и один из арбитров (профессор Генри Мэннинг) конкурса на лучшую популярную работу о четвертом измерении, проведенного в 1910 г. редакцией журнала Scientific American . В конкурсе приняли участие 245 авторов из разных стран мира: США, Турции, Австрии, Голландии, Индии, Австралии, Германии. Победителем стал американец Грэхэм Денби Фитч. По просьбе редакции Scientific American он написал (уже вне конкурса) также вторую статью «Неевклидова геометрия и четвертое измерение». Сборник работ, представленных на этот конкурс, впервые вышел в 1910 г. под названием «Простое объяснение четвертого измерения» и был переиздан в 1960 г.

Читателям предстоит проделать немалое путешествие по просторам Флатландии и Сферландии, и нам не хотелось бы задерживать их на самом пороге удивительных приключений. Поэтому мы закончим свое напутствие словами известного венгерского математика Ласло Фейеша Тота: необходимо «создавать бесконечное множество новых миров, законы которых можно постичь, хотя нога человека никогда не оставит на них следа».

Ю. Данилов

Я. Смородинский

Если бы мой несчастный флатландский друг сохранил остроту ума, которой обладал, приступая к работе над своими мемуарами, мне не пришлось бы писать вместо него это предисловие. Мой друг просил меня, во‐первых, поблагодарить читателей и критиков из Трехмерия, чья неожиданно высокая оценка привела ко второму изданию его труда, во‐вторых, принести свои извинения за некоторые ошибки и опечатки (впрочем, ответственность за них лежит не только на нем) и, в‐третьих, объяснить отдельные трудные места. Но ныне он не тот Квадрат, каким был прежде. Годы заключения и тяжкий груз всеобщего недоверия и насмешек вместе с естественным упадком сил, вызванным его преклонным возрастом, стерли из памяти многие идеи, понятия, терминологию, приобретенные им во время кратковременного пребывания в Трехмерии. Учитывая это, автор просил меня от его имени ответить на два возражения, одно из которых чисто умозрительного, а другое — морального характера.

Первое возражение вызвано тем, что флатландцы, глядя на Отрезок прямой, видят нечто, обладающее не только длиной, но и толщиной (ибо Отрезок не был бы виден, если бы не обладал некоторой толщиной). Следовательно, заключают критики, флатландец не может не признать, что его соотечественники обладают не только длиной и шириной, но и некоторой, хотя и весьма малой, толщиной, или высотой. Это возражение на первый взгляд кажется настолько убедительным (а для жителя Трехмерия почти неопровержимым), что, впервые услышав его, я попросту лишился дара речи. Но, я думаю, ответ моего старого бедного друга полностью устраняет сомнения.