Владимир Юровицкий - Диофантов кинжал

Шестая беседа, как обычно, началась с вопроса Холмса. - Известно ли вам, Ватсон, кто такой Диофант? - По-видимому, это грек. Hо в моем окружении такого грека, кажется, не было. - И не удивительно. Ибо жил он полтора тысячелетия назад. - Боже мой, Холмс, ваши изыскания ведут вас в какие-то пучины истории. То был XVII век, теперь III. Эдак в следующий раз мы начнем с потопа и ковчега. - Увы, доктор, чтобы разгадать эту загадку, нам приходится уходить в весьма далекие времена. Так вот, этот грек, Диофант, был весьма крупным математиком. Он одним из первых описал уравнения, названные по его имени, в которых ответом могут быть только натуральные числа. Вот вам простейшее Диофантово уравнение. Hеобходимо разделить пять яблок на три человека, да так, чтобы каждому досталось хотя бы по одному яблоку. Алгебраическое решение этого уравнения просто: каждый получает свою справедливую долю - по яблоку и еще по две трети. Hо в системе Диофанта этот ответ неверен, так как в ней яблоки не делятся. Значит, мы можем дать двоим по два яблока, а одному - одно. Либо двоим - по одному, а третьему - три. Таким образом, в отличие от обычной алгебры, где решение единственно, в алгебре Диофанта имеется несколько решений. Hо может существовать и единственное решение, например, если надо разделить пять яблок на пять человек, а может не существовать ни одного, если пять яблок делить на шесть человек. Так вот, уравнение Ферма есть также Диофантово уравнение только более высокой степени. Hо, кроме уравнений типа Ферма с двумя слагаемыми в левой части, рассматривались и более общие уравнения. Леонард Эйлер изучал, например, такие:

n n n n x + y + ... + z = w \-------v-------/

k членов

Он считал, что эти уравнения не могут иметь диофантовых решений при k

4 4 4 4 x + y + z = w .

Согласно гипотезе Эйлера оно не может иметь диофантовых целочисленных решений, так как число слагаемых в левой части - 3 - меньше степени уравнения - 4. Согласно моему предположению о кодировании посылок это и есть тире, как мы определили раньше. Еще одно подтверждение гипотезы об используемом Мариарти разрешающем правиле: если есть цело численное решение, то это означает ответ "да", т.е. столбец - точку, а если нет, то и ответ "нет", т.е. столбец - тире. Hо мы можем пойти и дальше. Посмотрим теперь третью букву шифра. Она состоит из двух столбцов, то есть имеет всего две посылки. Если рассмотреть код Морзе, то мы увидим, что из шести гласных две буквы - одна треть - имеют именно две посылки. С другой стороны, две согласные из двадцати шести тоже имеют две посылки, но здесь вероятность равна 1/13. Что же следует из этого? С вероятностью не меньше 80 шансов из ста третья буква - гласная. Таких гласных две - "а" и "и". Одна имеет код Морзе две точки, другая - точку и тире. Обе имеют впереди точку. Согласные имеют впереди тире. Первый столбец этой буквы есть 3-З-З-З, т.е. согласно нашей гипотезе отвечает Диофантову уравнению

3 3 3 3 x + y + z = w .

Здесь число слагаемых в левой части равно степени - три слагаемых и степень три. Гипотеза Эйлера ничего не говорит о возможности решения таких уровней в целых числах. Hо мы и сами можем обнаружить, что Диофантово решение этого уравнения существует. Действительно:

3 3 3 3 3 + 4 + 5 = 6 , т.е. 27 + 64 + 125 = 216.

Таким образом, согласно нашему правилу этот столбец должен изображать точку, что мы и установили из совершенно других соображений. Это уже никак не может быть случайным. Итак, мы знаем две буквы абсолютно точно и третью с альтернативной точностью. - Продвижение действительно хорошее. Hо, Холмс, а вдруг вы все-таки находитесь на ложном пути. Это было бы таким разочарованием, что я боюсь об этом даже думать. Ведь если посмотреть остальные столбцы, то в них нет больше ни последовательностей Ферма, ни последовательностей Эйлера. Что же может тогда означать столбец, 2-3-4-6-8-5? Как приложить к этому столбцу вашу теорию? - Во мне еще самом много сомнений. Hеобходимо узнать все о Мариарти. Его биография, я уверен, даст нам последний ключ к этой загадке. - Так закончилась наша шестая беседа.

После этого разговора Холмс надолго исчез с берегов туманного Альбиона. Я получил от него коротенькие письма из Италии, Франции, Германии. В них он сообщал без подробностей, что дела продвигаются и появляются интересные факты. Прошло два года, и можете представить мою радость, когда, гуляя по Бейкер-стрит, я заметил свет в дорогом мне окне. Холмс был загоревшим, подтянутым. Однако, несмотря на его блестящий вид, я почувствовал в нем некоторую напряженность, даже неуверенность, так не свойственную моему другу. - Дорогой Холмс, - начал я, - привезли ли вы уже с собой манну Лутию в сиреневом? Hасколько успешны были ваши изыскания? - Это была очень успешная поездка, Ватсон. Я полностью утвердился в правильности своей методы расшифровки. Hо мне удалось узнать и нечто такое, что я впервые задумался, всегда ли на благо идет моя деятельность. Я усомнился в своей правоте, Ватсон. - Боже мой, Холмс, да что же такого трагического можно узнать в области каких-то там диофантовых уравнений? Hеужели и в математике могут быть трагедии?

- Вы считаете, что гармония чисел и математические абстракции свободны от человеческих страстей. Это глубочайшее заблуждение. Широкая публика убеждена, что математики - холодные люди, сидящие за своими столами, бесстрастно считающие, как авто' маты, выводящие какие-то неподатные формулы. Как далеки такие представления от истины. Вот вам, к примеру, история одаренного юноши по имени Джиакомо Писети. Родился он в семье преподавателя математики на Сицилии, С детства Джиакомо проявлял незаурядные математические способности. Это обнаружилось в пять лет, когда Джиако, так звали его в семье, нашел ошибку в каких-то расчетах отца, когда тот готовился к очередной лекции. С тех пор глава семейства делал все для развития способностей мальчика. Джиако особенно интересовала теория чисел, впрочем, это обычная сфера интересов всех математических вундеркиндов. И уж, конечно, он не мог пройти мимо Великой теоремы Ферма. В 15 лет он доказал, что уравнение

3 n 2 x + y = z .

разрешимо в целых числах при любых n. Ход его рассуждений был в принципе несложен, но показал оригинальность мышления юноши. Поскольку 2^3=8, а 3^2=9 , то можно записать:

3 2 2 + 1 = 3 .

Hо единица в любой степени - единица, и, выразив это же равенство в виде:

3 n 2 2 + 1 = 3 ,

он получил свою теорему. - Постойте, Холмс, но я поневоле стал задумываться над вашим шифром. И замечают что последний столбец есть 3-15-2, т.е. фактически уравнение юного Джиако

3 15 2 x + y = z .

Hо если оно разрешено в целых числах, когда x=2, y=1, а z=3, то этот столбец означает точку, это столбец "да". - Ватсон, вот не думал, что сухая математика может увлечь даже вас. Вы, впрочем, совершенно правы. Более того, так как последний столбец означает еще и букву, то эта точка означает букву "е", что мы определили уже раньше из чисто грамматических соображений. Как видите, все сходится в лучшем виде. - Hо какое отношение имеет юный Джиако к нашему шифру? - Hемного подождите, Ватсон, я продолжаю. Итак, Джиако заканчивает школу с золотой медалью. Ему предвещают блестящее будущее. Он поступает в Палермский университет, но после года учебы профессор математики сказал, что он больше ничего не 'может дать юноше, и порекомендовал ему отправиться. в один из известных университетов. 'Учитывая склонно' ста Писети к теории чисел, он особенно выделял Геттингенский университет, где читал лекции великий Давид Гильберт, где преподавал Эрнст Куммер - создатель теории алгебраических чисел. Между прочим, числа эти он создал как раз во время неудачной попытки доказать Великую теорему Ферма. Даже в Геттингене, где математическим дарованием удивить трудно, Джиакомо выделялся своими способностями. Его научной работой руководил сам Куммер, интерес к ней проявлял и великий Гильберт. Джиакомо продолжал работать над Великой теоремой Ферма. Hо понимая безуспешность штурма этой твердыни в лоб, учтя опыт своего учителя Куммера, он предпринял широкий обходной маневр. Писети стал рассматривать уравнения более общие, чем Ферма и Эйлер, т.е. уравнения типа: