Александр Казанцев - Острее шпаги (Клокочущая пустота, Гиганты - 1)

_______________

* Примечание автора для особо интересующихся. Рассмотренный

Паскалем "бином", впоследствии названный "биномом Ньютона", известен

ныне как: (x + y)\0 = 1; (x + y)\1 = z; (x + y)\2 = x\2 + 2xy + y\2;

(x + y)\3 = x\3 + 3x\2 у + 3xy\2 + y\3; (x + y)\4 = x\4 + 4x\3 y\2 +

6x\2 y\2 + 4xy\3 + y\4 и т. д.

ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ для порядковых членов

(см. прилагаемый рисунок: Ostree34)

- Это действительно увлекает.

- Что ты! Это пустяк по сравнению с истинной вершиной красоты. Зачем все эти сложные математические зависимости, если все определяет единственная, но всеобъемлющая? Всмотрись внимательнее в таблицу и, пожалуйста, не разочаровывай меня. Ищи!

Самуэль с интересом вглядывался в письмо Паскаля.

- Отец! Это непостижимо, я просто случайно наткнулся на удивительное свойство! Ведь каждое число в таблице равно сумме двух, расположенных над ним в предыдущем горизонтальном ряду!

- Браво, мой мальчик! Ты будешь ученым! Если искать подлинную математическую красоту, то вот она! Удивительное свидетельство существования таких математических тайн, о которых мы и не подозреваем*.

_______________

* В своем 42-м замечании на полях книги "Арифметика" Диофанта

Пьер Ферма записал по-латыни: "...наука о целых числах, которая, без

сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих

пор известна ни Боше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня

(Боше де Мазариак - математик, издавший в переводе на латынь с

древнегреческого "Арифметику" Диофанта, снабдив ее своими

комментариями и дополнениями, ставшую настольной книгой Ферма).

(Примеч. авт.)

- Да, отец, я понимаю тебя. Есть от чего прийти в восторг! Мне это представляется пределом достижимого.

- Как ты сказал? - сощурился Пьер Ферма. - Пределом достижимого? Пусть никогда эта повязка не закрывает твоих глаз ученого. Никогда воображаемый или даже увиденный "предел достижимого" не должен останавливать тебя в будущем как ученого.

- Я понимаю тебя, отец, и не понимаю.

- Я признаюсь тебе, Самуэль. Красота математической зависимости в таблице - это лишь сочетание граней частных случаев. А подлинная, всеобъемлющая красота - в обобщении. Ты понял меня?

- В обобщении? Ты хочешь сказать, что можно представить бином в какой-то степени в общем виде?

- Именно эту задачу я и поставил перед собой.

- Ты восхищаешь и поражаешь меня, отец. Придя в такой восторг от открытия Паскаля, ты пытаешься уйти вперед, возвыситься над таблицей частных значений!

- То, что может быть вычислено, должно и может быть представлено в виде универсальной формулы.

- Неужели ты нашел ее, отец?

- Да. Я еще никому не показывал ее, но подготовил письмо Каркави, заменившему почившего беднягу аббата Мерсенна, чтобы тот разослал копии европейским ученым. Журнала у нас все еще нет.

- Но, отец, не требуй от близких больше того, что они способны дать.

- Ты учишь меня разумному. Я всю жизнь стараюсь руководствоваться этим принципом.

- Так покажи мне формулу и вывод ее.

- Ты хочешь, чтобы я нарушил свой принцип? Нет, друг мой и сын мой! Даже для тебя я не сделаю исключения. Хочешь видеть мой БИНОМ пожалуйста. Но получить его с помощью математических преобразований попробуй сам. Я хочу убедиться, что ты станешь подлинным ученым.

- Но я не решусь соперничать с тобой.

- Это не соперничество. Труднее всего достигнуть конечной цели, не зная ее, а если она известна, то дорогу к ней найти легче.

- Но ко многим указанным тобой целям ученые так и не могут найти дороги. Потому так и ждут твоего собрания сочинений.

- Ты опять об этом. Лучше я тебе покажу свою формулу: (x + y)\n = (Mx + y)\n + (x + My)\n! - Он написал ее тростью сына на песке.

- Но как же мне найти дорогу к этой вершине?

- Я чуть-чуть помогу тебе, из отцовских чувств, конечно! Видишь ли, когда-то я предложил систему координат, которой воспользовался, в частности, мой друг Рене Декарт.

- Ему нужно было бы при этом больше сослаться на тебя.

- Я предложил систему координат, чтобы ею могли пользоваться все математики, которые найдут ее удобной, и не требую от них специальных поклонов в мою сторону.

- Ты остаешься самим собой, отец! Право, хотелось бы позаимствовать у тебя такие примечательные черты характера, которые поднимают тебя и надо мной, и над всеми. Итак, система координат?

- Теперь я пошел дальше. Ведь никогда не надо останавливаться на достигнутом. Я решил воспользоваться сразу двумя системами координат прямой и перевернутой. Это позволило мне создать метод совмещенных парабол.

- Очень интересно! Но как это понять?

И Пьер Ферма стал объяснять сыну суть своего метода, снова взяв у него трость, чтобы чертить на песке*.

_______________

* Примечание автора для особо интересующихся.

(см. прилагаемый рисунок: Ostree35)

Метод совмещенных парабол Пьера Ферма сводится к тому, что в системе

прямоугольных координат (декартовых!) с горизонтальной осью x и

вертикальной q - (xO1q) - вычерчивается парабола по уравнению q =

x\n. Чертеж поворачивается на 180°, и на нем наносится (см. рис.) еще

одна система прямоугольных координат (yO1l) с горизонтальной осью "у"

и вертикальной "l". Вертикальные оси двух систем координат отстоят

одна от другой на величину z, а горизонтальные на z\n. В перевернутой

системе координат тоже вычерчивается точно такая же парабола по

уравнению l = y\n. Две совмещенные таким способом параболы образуют

полусимметричную геометрическую фигуру, ограниченную ими. Выбирая

точку x1 на оси x, строим от нее вертикальный отрезок (до пересечения

с первой построенной параболой) с длиной g1 = X1\n. Проведя теперь

горизонтальную линию от пересечения вертикального отрезка с параболой

через фигуру до второй параболы, получим точку, вертикальный отрезок

от которой до оси у перевернутой координатной системы отметим на оси

y точку y1. Длина же этого отрезка, равная ординате перевернутой

параболы, будет l = y\n. Из построения следует: q + l1 = x1\n + y1\n

= z1\n. Диофантово уравнение, положенное Ферма в основу его Великой

теоремы. Все это восстановлено А. Н. Кожевниковым.

Ферма закончил формулой x\n + y\n = z\n и вернул сыну трость.

- Но ведь это же Диофантово уравнение! - воскликнул Самуэль.

- Ты прав. Мне еще придется заняться им. Примечательно, что оно получается из геометрического построения. Этим же построением можешь воспользоваться и ты, если не раздумал еще доказать формулу моего "бинома".

- Я попробую, отец, но ты, вероятно, переоцениваешь мои силы.

- Напротив, я надеюсь на тебя! Передаю тебе факел, как написал в своем письме.

- Сестричка! - воскликнул Самуэль.

На аллее показалась Сюзанна, худая и прямая, с холодным красивым лицом, так гордо несущая голову, что взгляд ее серых глаз казался едва ли не надменным.