Коллектив авторов - Млечный Путь №2 (2) 2012

Здесь хотелось бы предупредить читателя от одного распространенного заблуждения. Пространство в математике и физике – это не «бесструктурная и бесформенная пустота». В математике у пространства есть две обязательные характеристики – размерность и метрика. Размерность определяется по числу независимых характеристик (измерений), которые необходимы, чтобы определить точку в этом пространстве. А метрика – это способ задания расстояний между точками пространства. Например, две точки на шаре разделены расстоянием, которое может измеряться «по прямой» (в земных условиях – это прямой туннель из, скажем, Москвы до Иерусалима), а может – по «геодезической», которая равна кратчайшему маршруту самолета на этой трассе.

Чаще всего рассматривают и обсуждают обычное евклидово пространство n измерений. (Напомню, что евклидовыми называют те пространства, расстояния между точками которых измеряются так, как мы определили для «прямого туннеля» – по теореме Пифагора). И, если не оговаривается особо, то по умолчанию принимают n = 3. Чаще просто потому, что мы считаем «наше физическое пространство» трехмерным евклидовым. Но после открытия неевклидовых геометрий и гиперкомплексных чисел в поле зрения математики попали и многие другие пространства, и сегодня их со всеми вариациями и обобщениями существует, вероятно, не меньше, «чем Донов Педров в Бразилии».

Если отвлечься от математического «птичьего языка», то гладкость можно и не определять. Она «дана нам в ощущении» даже в отсутствие зрения, просто «на ощупь». Того же мнения о сущности гладкости придерживается и известный космолог Брайан Грин: «Понятие “гладкости” имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова “гладкость” хорошо передает суть этого понятия: гладкий – значит без складок, без проколов, без отдельных “нагроможденных” друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит».

Обратим внимание – Б. Грин говорит здесь о гладкости трехмерного пространства. Это, как будет видно из дальнейшего, весьма важное обстоятельство!

Математический аппарат дифференциального исчисления, основанный на представлении гладкости пространства, использовался и используется физиками для описания реальности во всех ее масштабах: от микромира стандартной квантовой механики с ее уравнениями Шредингера и Дирака, до макромира и даже всего универса в СТО и ОТО Эйнштейна, во всех мыслимых диапазонах скоростей и масс взаимодействующих тел.

Что из всего этого следует? Р. И. Пименов пишет: «…Сложившуюся ситуацию вроде можно было бы описать такими словами: фактически для оправдания как парадигмы дифференциальных уравнений, так и парадигмы детерминированности, использовался НЕЯВНЫЙ ПОСТУЛАТ о выделенности гладких движений».

Почему «парадигма детерминированности» или, другими словами, «стрела времени», попала в один ряд с парадигмой дифференциальных уравнений? Это стало неизбежным в начале XX века, когда физики осознанно ввели новый конструкт – «пространство-время», в котором время объединялось с пространством посредством особой метрики Минковского. И с тех пор детерминизм – однозначная связь прошлого с настоящим и будущим – стал элементом конструкции четырехмерного множества пространства-времени.

И до середины XX века «все было в порядке». Но вот, замечает Р. И. Пименов, «в семидесятые годы XX века Мандельброт выпустил книгу, где собрал богатый материал, убедительно вводивший в практический оборот многие из казавшихся безнадежно “абстрактными”, “заумными”, “патологическими” математических конструктов.

Заумными и патологическими их считали потому, что в них было невозможно ввести понятие дифференциала. Любой их самый маленький элемент (отрезок, площадка, объем) оказывался “сложно устроенным” и не имел “бесструктурных областей”, необходимых для существования дифференциалов.

И канторовы дисконтинуумы, и покрывающая всю плоскость кривая Пеано, и ковры-кривые Коха и Серпиньского выглядят теперь как обнаруженные в реальности “главы” из “геометрии природы”; они помогли понять лунный пейзаж, скопления галактик и многое другое столь же невыдуманное, а глазам предлежащее».

Ковер Серпиньского. Алгоритм его построения таков: берется квадрат, тремя горизонтальными и тремя вертикальными прямыми делится на девять равных квадратов и центральный удаляется (вырезается). На следующем шаге точно так же поступают с оставшимися восемью квадратами. В результате, при бесконечном числе итераций, из квадратной плоскости получается фантастический ковер, состоящий из бесчисленного количества квадратных дырок, площадь основы которого стремится к нулю.

Здесь не место описывать и разъяснять подробно новую «парадигму фракталов». В том смысле, который отражает взгляд Р. И. Пименова, можно характеризовать фрактал как не обязательно гладкое самоподобное множество. Проще говоря, любой элемент фрактала при увеличении масштаба его рассмотрения оказывается похожим сам на себя при прежнем масштабе. Посмотрите еще раз на ковер Серпиньского. Каждая его темная площадка при рассмотрении в микроскоп оказывается таким же «дырявым ковром», как и изображенный на рисунке. И чем сильнее увеличение микроскопа, тем на более глубоком уровне мы обнаруживаем это странное свойство. И нет предела такого углубления!

Для тех, кто не знаком с математическими описаниями фракталов, лучше всего будет набрать это слово в любом интернет-поисковике и любоваться неожиданными красотами графического выражения этих «”заумных” математических конструктов».

Например, таким, какой изображен на первой странице обложки журнала.

Для нас сейчас важно осознать, что с появлением фракталов укрепилось представление о том, что дифференциальные уравнения – не универсальное средство описания физической реальности! Загадочное свойство «фрактальной размерности» реальных объектов никак не соответствует ни математическому, ни «житейскому» пониманию гладкости пространства.