Тони Дэниел - Суперсвет

Данис вошла в офис. Это была белая комната со столом из нержавеющей стали в центре. На столе стояла ничем неприметная черная коробка. Доктор Тинг был, как всегда, в белой рубашке и белом лабораторном халате, белых брюках и — эта деталь всегда раздражала Данис — белых туфлях с белыми застежками и подошвами. Лицо напряженное, морщинки напоминают, скорее, трещинки, чем складки кожи. Левая скула постоянно подергивается от непрекращающегося тика.

— Сегодня, К., мы займемся кое-чем особенным, — сообщил доктор Тинг сухим, трескучим голосом.

Особенным… Значит, ничего хорошего не будет.

Андре Сюд, доктор богословия, Тритон

В конце двадцатого столетия земные криптографы, такие как Хеллман, Диффи и Меркль, наконец, сумели вычислить, каким образом Элис может послать Бобу сообщение, не сообщая ему при этом заранее доступный другим ключ. Достичь этого им помогла математика циферблата.

Иными словами, та самая арифметика, при помощи которой мы определяем время на циферблате часов. Вот вам простой пример: 1:00 дня плюс тринадцать часов дают нам не четырнадцать часов, а два часа утра. Арифметика часового циферблата — это арифметика «модуса 12».

В арифметике циферблата, выполняете ли вы такое действие как сложение, вычитание, умножение или деление, ответ всегда лежит между единицей и двенадцатью. Это правило верно и тогда, когда вы возводите число в квадрат или в куб, или в иную нужную вам степень. В обычной математике три в третьей степени равно двадцати семи, то есть 3х3х3. А вот в математике модуса 12 три в третьей степени равно трем.

В обычной математике, если вам известно, что три возвели в некую степень чтобы получить число 243, вы при желании можете произвести кое-какие вычисления и определить искомую степень. Если вы решите, что ответом является три в четвертой степени, то есть 3х3х3х3, вы сразу поймете, что это не так, потому что число 243 больше, нежели число 81. Если вы решите, что это три в шестой степени, то есть 3х3х3х3х3х3, то вы получите 729. Так что правильный ответ равен пяти. 243 — это три в пятой степени.

А вот «модус 12» работает совершенно иначе. Вы делите число на двенадцать, а остаток — и есть нужный вам ответ. Так что три в пятой степени это… три. Три четвертой — девять. Три в шестой — тоже девять. И как, скажите, в такой ситуации, угадать, в такую степень возведено число три?

Ответ: никак.

Потому что этот принцип действует лишь в одном направлении. Это примерно то же самое, как если разбить яйца в тесто. На протяжении столетий шифровальщикам постепенно в голову закралась идея, что зашифровывать послание можно, поменяв буквы на цифры и произведя с последними математические действия. Вы загоняете ваше послание в алгоритм и на выходе получаете шифр. Если вы используете для шифрования одностороннюю функцию, значит, вы разбили в тесто яйца и теперь больше никто не сможет высосать их из скорлупы.

Кроме как…

Кроме как при особых условиях модульной математики, процесс можно сделать обратимым, словом, извлечь яйца из теста и вновь поместить их в скорлупу. Эти условия основаны на свойствах простых чисел. Простые числа — это те, которые делятся только на единицу или самих себя.

Давайте вернемся к нашему примеру. Боб Скулящий Убийца задался целью убрать с дороги Кардинала. Он перемножает два простых числа, например 216091 и 6700417. После этого он вступает в контакт со Шпионкой Элис и называет ей число 14478187109947, умолчав, однако, что оно — результат умножения. Пока два заговорщика болтают между собой по системе мерси, Эва, глава службы безопасности Кардинала, прячется в тени и подслушивает их разговор. Она аккуратнейшим образом записывает каждую цифру числа, которое Боб сообщает Элис. Ей известно, что Боб наверняка воспользовался простыми числами. Кардинал спасен!

Все, что ей нужно сделать, это вычислить простые числа, которыми воспользовался Боб для создания третьего числа. Давайте предположим, что события нашей небольшой притчи произошли давным-давно, еще до того, как людям в головы вживили микропроцессоры. В распоряжении Эвы имелся лишь примитивный калькулятор. Но она работает быстро и может за минуту проверить пять простых чисел. Спустя сорок три тысячи двести восемнадцать минут она получит свое первое простое число. Прошел месяц. Эва, подпитываемая новой порцией адреналина, в течение этого времени ни единой ночи не сомкнула глаз. Она делит подслушанное ею число на вычисленное ею простое. Теперь она должна убедиться, что полученный результат — тоже простое число. На что уходит двадцать восемь месяцев.

Погодите, скажете вы. Зачем же ограничивать Эву карманным калькулятором? Куда проще и надежнее работать с компьютером — даже если это примитивная машина вроде тех, что были в ходу в двадцать первом веке.

Предположим, что Боб использовал гораздо большие простые числа. Такие, что лежат где-то в районе между десятой и, допустим, сто или двухсоттысячной степенью.

В этом случае допотопному компьютеру потребуется целая вечность на то, чтобы вычислить два простых числа, чье произведение подслушала Эва.

Элис берет сообщенное ей число, загоняет его в одностороннюю функцию модульной математики, зашифровывает с его помощью для Боба приказ «Убить кардинала в пятницу перед вечерней мессой» и передает дальше. Даже она сама не смогла бы расшифровать свое послание, если бы вдруг забыла, что написала. Потому что это примерно то же самое, что разбить яйца в тесто.

Эва перехватывает послание Элис, однако не в состоянии его расшифровать. Потому что ей приходится заниматься вычислением этих чертовых простых чисел.

Боб держит эти простые числа в своей памяти — предварительно проглотив клочок бумаги, на которой он их записал. Эти два простых числа — его личный секретный код, ведь они не известны даже Элис. В отличие от нее, это уже не односторонняя функция, а двухсторонняя, так что для Боба не составляет особого труда расшифровать ее сообщение. Он читает отданный ею приказ убить кардинала.

Наступает пятница.

Боб душит кардинала его же собственной манипулой.

Эве больше не нужно убивать жизнь на математические подсчеты. Она уволена с поста начальника службы безопасности. Однако судьба — вещь непредсказуемая. В конце концов Эва оказывается в роли босса Элис и Боба. Она отправляет обоих выполнять секретную — и постоянную! — миссию в глубинах арктической толщи льда. Она снабжает их карманным калькулятором и называет число — 383172101849, которое они должны разложить на два множителя, простых числа.