Андрей Павлов - Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

1. Касательная к окружности, ее свойство (с доказательством).

2. Формулы площади треугольника и трапеции (без вывода).

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите стороны треугольника.

4. Через вершину С параллелограмма ABCD проведена прямая HP так, что точка С лежит между точками Н и Р, которые принадлежат прямым АВ и AD соответственно:

а) докажите, что BH ? DP = ВС ? CD;

б) найдите косинус угла CDP, если синус угла НВС = 3/5.

5. Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны между собой.

1. Свойство биссектрисы треугольника (с доказательством).

2. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Сущность метода доказательства от противного.

3. Найдите углы правильного десятиугольника.

4. Даны точки М(0; 4), Р (2; 1), К (2; -2), Т (0; -5):

а) докажите, что четырёхугольник МРКТ – трапеция;

б) равны ли углы МРК и РКT?

5. Из вершины М тупого угла параллелограмма MNKP проведены перпендикуляры МН1 и МН2 к прямым NK и КР. Найдите углы параллелограмма, если угол Н1МН2 = 70°.

1. Свойство точки пересечения медиан (с доказательством).

2. Теорема о пропорциональных отрезках (без доказательства).

3. BD является высотой равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС); угол ABD = 17°, AD = 9 см. Найдите углы DВС, ABC и основание АС.

4. В прямоугольнике МНРК диагонали пересекаются в точке О, РК = 2, угол МОК = 120°. Вычислите скалярное произведение векторов.

5. В треугольнике ABC АВ = 4,2 см, АС = 2,7 см, длина ВС выражается целым числом. Найдите её.

1. Признаки равенства треугольников.

2. Соотношение между вписанным и центральным углами в окружности, опирающимися на одну дугу.

3. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD.

4. Дан правильный 30-угольник A1A2...A30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4.

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Докажите, что если через произвольную точку S провести две прямые, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS.

3. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

2. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента.

3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

4. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон.

1. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности.

2. Сумма углов выпуклого n-угольника.

3. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника?

4. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите AO/AM.

1. Признаки подобия треугольников.

2. Многоугольники. Правильные многоугольники. Величина угла в правильном n-угольнике.

3. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма.

4. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности.

1. Признаки параллельности прямых.

2. Теорема Пифагора.

3. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.

4. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах.

1. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы равны.

2. Выведите формулу R = abc/4S, где R – радиус описанной около треугольника окружности; а, b, с – длины его сторон, S – площадь треугольника.

3. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

4. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата.

1. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей.

2. Формула Герона.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 4?2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.

4. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON.

1. Свойства параллелограмма.

2. Свойство биссектрисы треугольника; длина биссектрисы.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4.

4. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.

1. Свойства и признаки ромба, прямоугольника, квадрата.

2. Теорема синусов. Докажите, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно диаметру описанной окружности.

3. Основание треугольника равно ?2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.

4. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной окружности.

1. Теорема Фалеса и её обобщение (теорема о пропорциональных отрезках).

2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Решение прямоугольных треугольников.

3. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей.

4. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.