Стивен Строгац - Удовольствие от Х

Социологи строят треугольники, подобные треугольнику слева, то есть считая отношения между объектами позитивными, так как разумно любить друзей ваших друзей. Точно так же треугольник справа, с двумя негативными и одной позитивной связью, считается сбалансированным, потому что такая комбинация не вызывает разногласий, даже несмотря на две стороны с негативными связями, поскольку ничто так не цементирует дружбу, как ненависть к одному и тому же человеку.

Конечно, треугольники могут быть выведены из состояния баланса. Это происходит в ситуации, когда есть три врага, причем двое из них относятся друг к другу менее враждебно и готовы объединиться, чтобы напасть на третьего.

Еще менее сбалансированным будет треугольник с единственной негативной связью. Например, предположим, что Кэрол хорошо относится и к Элис, и к Бобу, но Боб и Элис не любят друг друга. Возможно, они когда-то встречались и пережили тяжелое расставание, и теперь говорят друг о друге гадости лояльной к обоим Кэрол. Это создает психологическое напряжение между всеми тремя. Чтобы восстановить баланс, либо Элис и Боб должны урегулировать свои отношения, либо Кэрол должна принять чью-то сторону.

Во всех этих случаях логика баланса соответствует логике умножения. В сбалансированном треугольнике знак произведения двух любых сторон, положительный или отрицательный, всегда совпадает со знаком третьей стороны. В несбалансированном треугольнике это правило нарушается.

Не будем касаться вопросов о правдоподобии приведенных моделей, ибо здесь возникают интересные вопросы с чисто математическим привкусом. Например, в связной сети, где все друг друга знают, какое самое устойчивое состояние? Прежде всего это нирвана доброжелательности, где все отношения позитивные, а все треугольники в пределах сети сбалансированы. Однако существуют и другие устойчивые состояния. Например, устойчивое к конфликтам состояние, когда сеть раскололась на два враждебных лагеря (произвольных по величине и составу). Все члены одного лагеря хорошо относятся друг к другу, но враждебны к представителям другого лагеря. (Ничего не напоминает?) Возможно, еще более удивительно то, что эти полярные состояния являются единственно возможными столь же устойчивыми состояниями, как нирвана7. В частности, ни у какого трехстороннего раскола не может быть уравновешенных треугольников.

Ученые использовали этот метод для анализа союзов, сложившихся при подготовке к Первой мировой войне8. Диаграммы, представленные ниже, показывают союзы между основными державами, участвовавшими в ней: Великобританией, Францией, Россией, Италией, Германией и Австро-Венгрией между 1872 и 1907 гг.

Первые пять конфигураций были несбалансированными, потому что каждая из них содержала по крайней мере один несбалансированный треугольник. Возникающие в результате разногласия подталкивали эти страны к изменению конфигурации, тем самым вызывая реверберацию в других частях сети. На последнем этапе Европа раскололась на два непримиримых антагонистских блока, придя к общему балансу, но оказавшись на грани войны.

Однако это не значит, что на основании данной теории можно делать прогнозы. Это не так. Подобный подход не позволяет объяснить все тонкости изменений в геополитике. Но некоторые из наблюдаемых нами явлений происходят в соответствии именно с примитивной логикой «враг моего врага» и отлично подпадают под умножение отрицательных чисел. Отделяя важное от незначительного, арифметика отрицательных чисел может помочь нам отыскать настоящие загадки.

4. Коммутативность: перемена мест сомножителей

Приблизительно каждые десять лет появляются новые методы преподавания математики, что лишний раз заставляет родителей почувствовать себя отставшими от жизни. Еще в 60-е годы прошлого века мои родители были в шоке оттого, что не могли мне помочь выполнить простое домашнее задание — они никогда не слышали о троичной системе счисления и диаграммах Эйлера-Венна.

Сегодня ситуация не изменилась. «Папа, ты можешь показать мне, как делать эти примеры на умножение?» «Конечно могу», — само­надеянно заявил я, пока не довел дочь до истерики. «Нет, папа, сейчас это делают не так! Это устаревший способ! Разве ты не знаешь умножения методом решетки? Нет? Ну а как насчет частичных произведений?»

Эта унизительная ситуация побудила меня пересмотреть процесс умножения с самого начала9. И оно, как только вы вникнете в него глубже, действительно оказывается очень тонкой вещью.

Возьмите, например, терминологию. Равно ли трижды семь сумме трех по семь? Или сумме семи по три?

В некоторых культурах язык менее неоднозначен. Один мой друг из Белиза привык читать таблицу умножения так: «Семь один раз — это семь, семь дважды — четырнадцать, семь трижды — двадцать один» и так далее. Такая формулировка позволяет понять, что первое число это множимое, а второе — множитель. Аналогичная игра слов есть и в бессмертных стихах песни Лайонела Ричи[3] «Она однажды, дважды, трижды леди». (Слова «Она леди три раза» никогда не стали бы хитом.)

Может быть, вся эта суета вокруг семантики кажется вам глупой, так как порядок, в котором числа перемножаются, не имеет никакого значения, то есть в любом случае 7 × 3 = 3 × 7. Хорошо, но тут напрашивается вопрос, на котором я хотел бы остановиться подробнее. Является ли этот переместительный (коммутативный) закон умножения a × b = b × a действительно таким очевидным? Помню, меня еще в детстве он удивил, возможно, и вас тоже.

Чтобы привнести немного магии, представьте себе, что вы не знаете, чему равно 7 × 3, и поэтому складываете семерки: 7, 14, 21. Теперь поменяйте местами сомножители и складывайте тройки, получается 3, 6, 9, ... . Чувствуете ли вы все нарастающее недоумение? До сих пор ни одно из чисел в этих перечнях не совпало, но пройдем дальше ... 12, 15, 18, и затем — ах! — 21.

Я хочу сказать, что если вы считаете, что умножение соответствует многократному суммированию определенного числа (другими словами, многократному сложению), то коммутативный закон не совсем понятен. Но все проясняется, если представить умножение визуально. Допустим, 7 × 3 — это число точек в прямоугольной матрице с семью строками и тремя столбцами.