Алекс Беллос - Красота в квадрате

После первоначального сопротивления автоматизированным доказательствам теорем со временем большинство математиков все же приняли их. Некоторые даже мечтают о том, что однажды все теоремы будут переведены на универсальный компьютерный язык для проверки доказательств, что позволит создать гигантскую формализованную систему, содержащую все доказуемые математические знания, в которой каждое утверждение строго выводится из совокупности базовых строк компьютерного кода. Когда это произойдет, мы все должны, раздевшись донага, прыгнуть в озеро с криками «Бурбаки!».

Компьютеры изменили ход доказательства теорем. Кроме того, они стали катализатором для формирования новой, захватывающей области математики.

10. Соседи по клеткам

В промозглый лондонский день я отправился на встречу с одним человеком, чтобы поговорить о космических кораблях. Пол Чэпмен сидел на террасе итальянского ресторана в темном пальто, а его панама сияла оранжевым цветом под излучением инфракрасного обогревателя. Темные брови нависали над большими очками без оправы, а лицо заросло взлохмаченной седой бородой. Пол принадлежит к единственной в своем роде группе людей, увлекающихся математической игрой под названием Game of Life («Жизнь»). Ему не терпелось рассказать мне о своем последнем открытии.

«Новость, достойная газетной статьи, — заявил Пол, вынимая из кармана черную записную книжку и разворачивая истрепанный лист бумаги. — Я ношу это с собой повсюду». Игру «Жизнь» изобрел сорок лет назад молодой преподаватель Кембриджского университета Джон Конвей, разработавший законы вымышленной вселенной, согласно которым конфигурации клеток квадратной решетки эволюционируют и мутируют самыми завораживающими и непредсказуемыми способами. Сейчас в этой вселенной существуют такие фигуры, как «фитили», «ружья», «паровозы» и «космические корабли». На листике Пола было изображение космического корабля «Джемини», состоящего почти из миллиона крохотных клеток и представляющего собой одну из самых крупных и сложных фигур, когда-либо построенных в игре «Жизнь». «Джемини» напоминал ромбовидный алмаз, образованный из нескольких «елочных» шаблонов. Пол нетерпеливо показывал на разные фрагменты этого корабля, объясняя, почему он такой особенный. «Джемини» — это первая самовоспроизводящаяся фигура, которая способна построить свою точную копию. Этот космический корабль живой . В конце концов жизнь породила жизнь. «Это удивительно, — воскликнул Пол. — За сорок лет мы еще не видели ничего подобного».

Мысль о том, что математическая квадратная решетка позволяет создать конфигурацию, достойную серьезных размышлений, восходит как минимум к так называемому решету Эратосфена, названному так по имени древнегреческого ученого-энциклопедиста, который, как мы с вами знаем, сделал первую достаточно точную оценку размеров Земли. Решето Эратосфена — это алгоритм поиска простых чисел. Мы начинаем отсчет по возрастанию с 1 и, достигнув первого подходящего числа, удаляем из списка все числа, кратные данному числу. (Этот метод очень похож на подход Джерри Ньюпорта, человека с синдромом гения, о котором шла речь в главе 1.) Первое простое число — 2, поэтому мы должны вычеркнуть из списка все четные числа. Второе простое число — 3, поэтому нам необходимо вычеркнуть все числа, кратные трем. Число четыре уже было вычеркнуто, поскольку оно четное, а значит, следующее простое число — 5 и т. д.

Решето Эратосфена для чисел от 1 до 100 можно представить в виде сетки с шестью рядами, как показано на рисунке ниже. Горизонтальные линии, проведенные по ряду после числа 2, а также по рядам, начинающимся с чисел 4 и 6, вычеркивают все четные числа, а линия после числа 3 — числа, кратные 3. Два набора диагональных линий вычеркивают числа, кратные 5 и 7. Больше никаких линий не нужно, поскольку, если в поисках простых чисел вы просматриваете список до числа n , вам нужно искать числа, кратные простым числам, которые не превосходят значения √ n [1]. В данном случае n = 100, поэтому мы можем прекратить поиск чисел, кратных простым, как только доберемся до числа 10.

Решето Эратосфена

Это очень красивая и наглядная решетка, так как она сразу же говорит вам, что все простые числа должны находиться в первом и пятом рядах, а значит, они все либо на единицу больше, либо на единицу меньше числа, кратного 6. Однако самый важный момент, на который необходимо обратить внимание, — это причина, вынуждающая нас отсеивать числа: простые числа не появляются в каком-либо предсказуемом порядке. Если бы мы продолжили строить эту решетку до бесконечности, они были бы разбросаны в случайном порядке по первому и пятому рядам. Тот факт, что простые числа настолько легко найти, но их распределение столь непредсказуемо, — одна из самых ранних и наиболее непостижимых неожиданностей в математике.

В 1963 году 54-летний Станислав Улам отвлекся от лекции, на которой присутствовал, и принялся машинально чертить что-то на листе бумаги. Он нарисовал сетку из горизонтальных и вертикальных линий и стал нумеровать образованные путем их пересечения клетки, начав с единицы в центре и двигаясь по спирали. Наверное, ему было действительно скучно, потому что после этого он отметил все простые числа кружочками. Мы знаем, что простые числа не подчиняются очевидной закономерности, так что такого там увидел Улам? Как ни странно, он заметил нечто весьма неожиданное. Простые числа выстраивались вдоль диагональных линий (см. рисунок ниже), создавая рисунок, известный сегодня как спираль Улама. Когда Улам запрограммировал компьютер на построение такой спирали от 1 до 65 000, там тоже образовались диагонали, а также горизонтальные и вертикальные теневые области. Спираль Улама позволяет сделать волнующее предположение о том, что за беспорядочным шумом можно обнаружить музыку.

Улам был одним из польских математиков, которые в 1930-х годах во Львове принимали участие в создании «Шотландской книги». В 1935 году Джон фон Нейман, математик венгерского происхождения из Института перспективных исследований в Принстоне, пригласил Улама в США, куда тот и переехал навсегда в 1939 году. Четыре года спустя фон Нейман сделал Уламу, работавшему тогда в Висконсинском университете, более интригующее предложение: перебраться в Нью-Мексико и присоединиться к нему в работе над неизвестным проектом. Улам взял в университетской библиотеке путеводитель по штату Нью-Мексико и увидел, что до него путеводитель брали его коллеги, которые исчезли куда-то без всяких объяснений. Выяснив, в каких областях они работали, он понял, что именно его просят сделать.