Роман Душкин - Математика и криптография : тайны шифров и логическое мышление

Для такого шифрования необходимо подготовить набор ключей. Каждый ключ представляет собой квадратную матрицу, в которой прорезаны отверстия. Другими словами, ключ — это квадратный лист картона, разделённый на знакоместа. В нем продырявлена ровно четверть знакомест. При этом отверстия сделаны таким образом, что при повороте квадрата на 90, 180 и 270 градусов их наложения друг на друга не происходит. Например, вот изображение ключа для перемешивания сообщения из 100 символов:

Как видно, это квадратный ключ. Цифрами в уголках обозначена последовательность, в которой углы ключа занимают верхний левый угол.

В прорезях пишется текст, который надо перемешать. Как только первые 25 символов текста записаны, ключ поворачивается на 90 градусов так, чтобы в верхнем левом углу теперь стояла цифра 2, и в прорези записываются следующие 25 символов перемешиваемого текста — и так далее до окончательного заполнения матрицы. Если в перемешиваемом тексте менее 100 символов, то остаток заполняется какой-нибудь буквой (например, наиболее часто используемой; но лучше подобрать сообщение так, чтобы в конце оставалось как можно меньше неиспользованных знакомест: заполнение их символами-пустышками повышает риск раскрытия — поразмыслите, почему так).

Самое важное в квадратном ключе заключается в том, чтобы при его повороте на 90, 180 и 270 градусов отверстия ни разу не совпадали. Вам необходимо будет потренироваться в создании таких ключей (кто-нибудь из читателей, умудрённых в математике, может составить систему уравнений и решить её; иной читатель, умудрённый в программировании, разработает программу для генерации подобных матриц). При этом желательно, чтобы отверстия были равномерно распределены по площади ключа, поскольку слишком отчётливые группировки опять снижают криптостойкость. Лучше всего сделать ключ, похожий на изображенный выше — отверстия не должны соприкасаться сторонами друг с другом. Понятно, что длина стороны такого ключа должна быть чётным числом.

Вот, что необходимо сделать на этой неделе:

1. Разработать свой вариант ключа размером не менее 10 × 10 для перемешивания сообщения из 100 символов.

2. Нарисовать разработанный ключ в каком-либо графическом редакторе (что-то типа MS Visio).

3. Распечатать ключ в двух экземплярах, заламинировать их оба при помощи скотча, а затем в скотче прорезать отверстия. Всё это надо сделать очень аккуратно.

4. Подготовить шифрограмму длиной не более 100 символов (лучше ровно 100, но точно не менее 90).

5. Как обычно, написать письмо юному криптоаналитику, в котором привести подготовленную шифрограмму. В письме не должно быть инструкций о том, как использовать ключ.

6. Отправить письмо, вложив в него один экземпляр ключа.

Ребёнок должен будет самостоятельно догадаться, как использовать ключ. Это упражнение призвано пробудить в нём желание сделать собственный ключ (или даже несколько ключей).

На этой неделе мы немного отвлечёмся от основной темы и познакомимся с системами письменности, которые придумало человечество за свою историю. Во-первых, это поможет ребёнку изучить что-то новое и иногда блистать знаниями в подходящих случаях. А во-вторых, тема этой недели позволит ребёнку немного передохнуть. Мы как раз прошли половину пути, и, действительно, надо сделать небольшую передышку.

Изучение древних и экзотических алфавитов интересно ещё и потому, что некоторые не очень опытные шифровальщики могут использовать такие алфавиты для засекречивания своих посланий. Если вы видите письмо, отправленное русским другому русскому, но написанное, например, при помощи деванагари, то первое, что можно сделать, это попытаться прочитать эти буквы письменности так, как это сделал бы индус. Возможно, что в результате такого прочтения проявятся именно русские слова, а не хинди или санскрит. В истории такое происходило не раз, в этом нет ничего удивительного.

Люди за свою историю изобрели огромное количество алфавитов и неалфавитных систем письма, которые использовались (и используются) для записи как существующих языков, так и искусственных, используемых только любителями. Далее я кратко охарактеризую системы письма без самих таблиц символов, поскольку считаю, что читатель, взявшийся за этот вопрос, самостоятельно может найти всю необходимую информацию в сторонних источниках.

На заре своего развития человек пользовался так называемыми пиктографической и идеографической системами письма, в которых смысл передавался при помощи рисунков, довольно натуралистично или же схематично отражающих содержание послания. Использование этих систем было очень непростым, поскольку можно было передать лишь общий смысл того, что задумал автор надписи, да и то не всегда. Затем постепенно формировались первые системы письменности — зачатки тех, какие мы знаем сегодня.

После пиктографического письма стало появляться письмо иероглифическое. Причина его появления, скорее всего, в том, что людям нужно было упростить запись текстов и передавать знания о письме друг другу (обучение). Так что в иероглифическом письме постепенно появлялись типичные конструктивные элементы, повторяющиеся в разных знаках. Однако такое письмо сохраняло существенный недостаток своего предшественника: поскольку знаки были оторваны от звучания слова, письменная и устная речь существовали как бы по отдельности. А если в языке формы слов изменяются в зависимости от синтаксической роли, то к иероглифическим знакам приходилось добавлять большое количество модификаторов, обозначающих синтаксические отношения между словами.

Следующим шагом было использование слогового письма, когда один символ обозначал слог. Сегодня на Земле только в нескольких языках до сих пор используется этот тип письма (японский язык, большинство языков Индии, и даже в китайском языке «иероглифы» обозначают слоги). Тут может быть два варианта. Первый — в слоговом письме записываются только согласные слова, а гласные либо не записываются вовсе, либо для их обозначения применяются различные модифицирующие значки (диакритики). В основном таким методом пользуются семитские языки, в которых такой тип письма обусловлен также спецификой морфологии и словообразования. Второй вариант — это использование различных знаков для всего многообразия слогов в языке. По этому пути пошёл японский язык и многие другие азиатские языки (в том числе и китайский).

Наконец, вершиной развития письменной речи стало появление алфавитного письма, в котором отдельные знаки обозначали в основном фонемы или аллофоны: как согласные, так и гласные звуки. Этот вид письменности, похоже, впервые был использован в Древней Греции, когда стало понятно, что заимствованное финикийское (слоговое) письмо не слишком подходит для передачи изменяющихся греческих слов, в которых изменения часто затрагивали гласные звуки. Тогда древние греки ввели в свой алфавит специальные знаки для обозначения гласных звуков. Затем из греческого письма развились кириллица и латиница (и ещё несколько других, реже используемых систем письменности), и алфавитное письмо победно зашагало по миру.