Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Ответ.«Да».

Д43. Обсуждение.Чтобы лучше почувствовать задачу, попробуем для начала действовать наугад. Предположим, например, что дураков и умных в думе по 100. Тогда умные дадут ответы от 98 до 100 (в зависимости от скромности и от того, кто именно уехал), а все дураки скажут «Один», и премьер-министр легко отличит умного от дурака. Почему же он не смог понять ответ? Потому что умные отвечали так же, как дураки, то есть их было мало.

Решение.Заметим, что все дураки дадут ответ: «Один». Если бы умных в думе было три или больше, то они дали бы ответ: «Два (или больше)» и премьер-министр всё бы понял. Значит, умных могло быть 0, 1 или 2.

Рассмотрим все эти случаи. Если умных не было, то все сказали: «Один». Если был один умный уверенный, то он тоже сказал: «Один», и ситуация неотличима от предыдущей. Если был умный скромный, то он сказал: «Ни одного», и эта ситуация отличима. Если было два скромных умных, они сказали: «Один», и ситуация неотличима от предыдущей. Если бы было два уверенных умных, они сказали бы: «Два», и ситуация была бы отличима. Наконец, если бы были один уверенный и один скромный умный, то уверенный сказал бы: «Два», и ситуация также была бы отличима.

Таким образом, возможны три неразличимых варианта: нет умных, один уверенный умный и два скромных умных. Во всех этих случаях все участники опроса ответят: «Один».

Посмотрим, какие ответы даст опоздавший думец в каждой из этих ситуаций в зависимости от его ума и скромности:

Видно, что ответы «1» и «2» встречаются в нескольких клетках, т. е. такие ответы не помогли бы различить ситуации. Зато ответы «О» и «3» встречаются в таблице по одному разу и позволяют сделать однозначный вывод. Значит, опоздавший дал один из этих ответов. В первом случае в думе один умный, во втором – три.

Ответ.1 или 3.

Д44. 1) Занумеруем карты от 0 до 6. Можно считать, что у Гриши карты 1, 2 и 3. Пусть он скажет: «У меня либо набор 1, 2, 3, либо набор 4, 5, 6». Поскольку у Леши на руках как минимум две карты из набора 4, 5, 6, он понимает, что у Гриши набор 1, 2, 3, и знает, какая карта спрятана. Теперь Леша должен сообщить Грише свои карты. Возможны два случая.

1. У Леши набор 4, 5, 6 (а спрятана карта 0). Леша говорит: «У меня либо набор 4, 5, 6, либо 1, 2, 0».

2. У Леши другой набор, скажем, 4, 5, 0 (а спрятана карта 6). Леша говорит: «У меня либо набор 4, 5, 0, либо 1, 2, 3».

В обоих случаях названный Лешей «не свой» набор пересекается с Гришиным как минимум по двум картам, поэтому Гриша тоже узнает, какой на самом деле набор у Леши. Докажем, что Коле ничего не ясно. Действительно, и в том, и в другом случае названо три набора карт: А, В и С. Наборы В и С пересекаются по двум картам, Гриша сказал: «У меня либо А, либо В», Леша сказал: «У меня либо А , либо С». Это означает, что либо у Гриши набор А, а у Леши – С, либо у Гриши – В, а у Леши – А. Поэтому три карты из набора А и две карты из пересечения наборов В и С могут оказаться как у Гриши, так и у Леши (в нашем примере это карты 1, 2, 3, 4 и 5). А из остальных двух карт наборов В и С (в нашем примере 6 и 0) одна закрытая, другая – у одного из игроков. Поэтому местоположение никакой из карт Коля вычислить не может.

2) Заметим, что предыдущий способ не работает: зная закрытую карту, Коля может всё определить.

Пусть Гриша занумерует карты числами от 0 до 6 (и объявит об этом вслух). Затем пусть Гриша и Леша по очереди назовут остатки от деления суммы номеров своих карт на 7. Тогда они узнают расклад: ведь остаток суммы Гриши плюс остаток суммы Леши плюс номер спрятанной карты должны давать 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0 (mod 7). Так, например, если у Леши карты 1, 3, 4, а Гриша назвал остаток 4, то спрятана карта —4 – (1 + 3 + 4) = 2 (mod 7), значит, у Гриши карты 0, 5, 6.

Проверим, что Коля ничего не узнал. Его информация исчерпывается Гришиной суммой g и Колиной картой к (а Лешину сумму теперь Коля и сам может вычислить). Рассмотрим любую другую карту, пусть ее номер х. Покажем, что она входит в какой-нибудь набор из трех карт с суммой g , не содержащий к. Для этого дополним х парой карт с суммой номеров g – х. Таких пар ровно три при любом значении g – х (доказательство см. ниже). Из них две, возможно, не подходят из-за того, что туда входит карта с номером s или к , но как минимум одна пара остается. С ее помощью мы и создадим набор для Гриши (а набор для Леши получится автоматически). Например, если х = 3, то в нашем случае при g = 4 надо найти пару с суммой 4–3 = 1. Таких пар три: 1 = 0 + 1 = 2 + 6 = 3 + 5 (mod 7). Из них подходит только (0, 1}, то есть у Гриши мог быть набор 0, 1, 3.

Итак, любая карта могла оказаться у Гриши. Такие же рассуждения показывают, что любая карта могла оказаться и у Леши. Поэтому местоположение никакой из карт Коля вычислить не может.

Осталось доказать, что неупорядоченных пар с нужной суммой s всегда три. Есть семь упорядоченных пар (0, s), (1, s — 1)…, (6, s — 6). Из них ровно в одной оба остатка одинаковы, поскольку уравнение 2 х = s имеет, ввиду взаимной простоты чисел 2 и 7, ровно одно решение. Из неупорядоченной пары с разными остатками получается ровно две упорядоченных, поэтому неупорядоченных пар вдвое меньше, чем упорядоченных, то есть ровно 3.

Ответ.Могут в обоих случаях.

Д45. Из Петиных слов следует, что он не комиссар. Возможны два случая:

1) Петя – мафиози. Тогда он лжет и на самом деле знает, кто Дима, поэтому Дима – второй мафиози.

2) Петя – мирный житель.

Информации, которую Дима мог бы извлечь из Петиного высказывания, недостаточно, чтобы догадаться, кто комиссар. Поэтому если Дима говорит правду, то он сам и есть комиссар. А если лжет, то он – мафиози.

Если бы Миша был мирным жителем, он к этому моменту еще не мог понять, кто Петя: мирный житель или мафиози. Если Петя и Дима – два мафиози, то Миша комиссар; если Петя – мирный житель, а Дима – комиссар, то Миша – мафиози; если Петя – мирный житель, а Дима – мафиози, то Миша – комиссар или мафиози.

Теперь видно, что Саша, будучи мирным жителем, не может быть уверен, что Миша – комиссар. А комиссар никого другого назвать комиссаром не может. Значит, Саша – мафиози.

Теперь ясно почти все: Петя – мирный житель, Саша– первый мафиози, Дима и Миша – комиссар и второй мафиози (в произвольном порядке), а Илья – мирный житель.

Ответ.Мирный житель.

Д46. Обсуждение.Пусть дочь полковника звали Кити, а гусаров – Алексей, Борис и Виктор. О чем имеет смысл спрашивать гусаров? Либо сразу о том, кто кому бросал цветок, либо для начала о том, в каком порядке они ехали (ведь последний знает про всех, кроме себя). Оба пути приводят к верному решению. Только надо понимать, что на прямой вопрос «Кто ехал последним?» гусар не может ответить (все три ответа «Так точно», «Никак нет» и «Не могу знать» не подходят).