Турчин Фёдорович - Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

Полагают 1 , что разгадка состоит в следующем.

Ранние математические тексты вавилонян, дошедшие до нас, представляют собой сборники задач и их решений, созданные несомненно как учебные пособия. Их цель — обучить практическим приемам решения задач. Но ни в одном из текстов не описывается, как производить арифметические действия, в частности такие сложные для своего времени, как умножение и деление. Следовательно, предполагалось, что ученики каким-то образом умеют это делать. Так как совершенно невероятно, чтобы вычисления производились в уме, естественно предположить, что вавилоняне пользовались каким-то счетным прибором типа абака. На абаке числа выступают в своем натуральном, стихийно позиционном виде, а специальный знак для нуля не нужен, ибо бороздка, соответствующая пустому разряду, просто остается без камешков. Представление числа на абаке было основной формой задания числа, и в этом представлении не было никакой неопределенности. Числа, которые приводятся в клинописных математических текстах, играют роль поэтапных ответов, призванных контролировать правильность хода решения. Ученик делал выкладки на абаке и сверялся с глиняной табличкой. Ясно, что такому контролю отсутствие знака для пустых разрядов нисколько не препятствовало. Когда распространились объемистые астрономические таблицы, служащие уже не для контроля, а в качестве единственного источника данных, стали употреблять и разделительный знак для обозначения пустых разрядов. Однако свой «нуль» вавилоняне никогда не ставили в конце числа: очевидно, они его воспринимали именно как разделитель, но не как полноправное число.

Познакомившись с египетской и вавилонской системами записи дробей и действий над ними, греки для астрономических вычислений выбрали вавилонскую, ибо она была несравненно лучше. Но в записи целых чисел они сохранили свою алфавитную систему. Таким образом, греческая система, употреблявшаяся в астрономии, оказалась смешанной: целая часть числа изображалась в десятичной непозиционной системе, дробная часть — шестидесятиричной позиционной.

Не слишком логичное решение для создателей логики! С их легкой руки мы и до сих пор считаем часы и градусы (угловые) десятками и сотнями, а делим их на минуты и секунды.

Зато греки ввели в позиционную систему современный знак 0 — нуль, произведя его, как полагает большинство специалистов, от первой буквы слова ουδεν — «ничто». При записи целых чисел (кроме числа 0) этот знак, естественно, не находил применения, ибо алфавитная система, которой пользовались греки, не была позиционной.

Современную систему записи чисел изобрели индийцы в начале VI в.н.э. Вавилонский позиционный принцип и греческий знак нуль для обозначения пустоты они применили не к основанию 60, а к основанию 10. Система получилась и последовательной, и экономной, и не противоречащей традиции, и чрезвычайно удобной для вычислений.

Индийцы передали свою систему арабам. В Европе позиционная система счисления появилась в XVI в. с переводом знаменитой арабской арифметики ал-Хорезми (ал-Хваризми). Она вступила в жестокую борьбу с традиционной римской системой и в конце концов одержала победу. Однако еще в XVI в. в Германии был издан и выдержал много изданий учебник арифметики, в котором используются исключительно «немецкие», т. е. римские цифры, или, лучше сказать, числа, так как в то время цифрами называли только знаки индийской системы. В предисловии автор пишет: «Я изложил эту счетную книгу обычными немецкими числами на благо и пользу непосвященному читателю (которому сразу трудно будет выучить цифры)». Десятичные дроби в Европе стали употреблять начиная с Симона Стевина (1548–1620).

Магистральный путь к современной науке лежит через культуру древней Греции, которая наследовала достижения египтян и вавилонян. Остальные влияния и связи (в частности, передаточная функция, выполненная арабами) были более или менее существенны, но решающего значения, по-видимому, не имели. Истоки египетской и шумеро-вавилонской цивилизаций теряются во мраке первобытных культур. Поэтому в нашем обзоре истории науки мы ограничимся этими тремя культурами древности.

О записи чисел египтянами и вавилонянами мы уже говорили. Надо только добавить несколько слов о том, как египтяне записывали дроби. Система их была с современной точки зрения чрезвычайно оригинальна и столь же неудобна. Египтяне имели специальную форму записи только для так называемых основных дробей, т. е. полученных делением единицы на целое число, и еще двух простых дробей, имевших с древних времен особые иероглифы, а именно 2/ 3и 3/ 4. Впрочем в позднейших папирусах особое обозначение для 3/ 4исчезло. Чтобы записать основную дробь, надо было над обычным числом поставить знак , обозначающий «часть», Так = 1/ 12.

Остальные дроби египтяне разлагали на сумму нескольких основных дробей. Например, 3/ 8записывалось как 1/ 4+ 1/ 8, а 2/ 7в виде 1/ 4+ 1/ 28. Для результата деления 2 на 29 египетская таблица давала разложение 2/ 29= 1/ 24+ 1/ 58+ 1/ 174+ 1/ 232.

На технике счета египтян и вавилонян мы останавливаться не будем. Достаточно сказать, что те и другие умели производить четыре действия арифметики над всеми числами (целыми, дробными или смешанными), которые встречались им на практике. Для действий с дробями они пользовались вспомогательными математическими таблицами; это таблицы обратных чисел у вавилонян и таблицы основных дробей — у египтян. Египтяне записывали промежуточные результаты на папирусе, вавилоняне, по-видимому, выполняли действия на абаке, поэтому детали их техники остались неизвестными.

Что же считали древние математики? Есть один отрывок из египетского папируса времен Нового Царства (1500–500 гг. до н. э.), в котором очень образно и с большой дозой юмора описывается деятельность царских писцов и который по этой причине неизменно приводится во всех книгах по истории математики. Не избежим и мы этой участи. Вот этот отрывок 2 :

Я хочу объяснить тебе, что это такое, когда ты говоришь: «Я, писец, дающий приказы армии»... Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе — его царскому писцу... мудрому писцу, поставленному во главе этого войска. Надо сделать наклонную насыпь в 730 локтей длины и 55 локтей ширины; она состоит из 120 отдельных ящиков и покрывается перекладинами и тростником. На верхнем конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине — 30 локтей. Уклон ее дважды по 15 локтей, а настил 5 локтей. Спрашивают у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и говорят: «Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей. Имя твое славится»... Сколько же нужно кирпичей?