Алексей Цвелик - Жизнь в невозможном мире: Краткий курс физики для лириков

Роль чисел в нашей жизни, равно как и более общего знания, на числах основанного, математики, так же огромна, как и загадочна. Хотя, наверное (и, на мой взгляд, почти наверняка), не все знание, которое человек может получить об этом мире, может быть поверено математически, но вряд ли можно спорить с тем, что та часть, которую можно таким образом поверить, является наиболее бесспорной и надежной. И здесь пролегает тайна, и, как говорится, тайна сия велика.

Сначала немного истории. Чем вообще занимается наука? Мы уже говорили об этом: изучает законы природы. Утверждение это, являясь, по-видимому, очень простым, содержит в себе два исключительно нетривиальных предположения. Во-первых, утверждается, что у природы есть законы (иначе и изучать было бы нечего), и, во-вторых, что мы можем их познать (иначе задача науки была бы безнадежна). Идея законов природы возникла у человечества далеко не сразу; есть основания связывать ее возникновение с религиозно-философским обществом, образовавшимся в VI веке до н. э. вокруг древнегреческого мудреца Пифагора. Существование законов природы, однако, совсем не гарантирует их познаваемость не только существом с такими мыслительными способностями, как человек, но и в принципе. То, что мир можно познать, исходя из какого-то опыта о нем, основано на том, что мир этот в высокой степени регулярен, то есть наполнен множеством похожих друг на друга событий. Само по себе существование законов природы этого совсем не предполагает. Так как читателю такое утверждение может показаться неожиданным, поясню подробнее.

Возьмем классическую механику, то есть подотдел физики, занимающийся движением макроскопических (то есть, проще говоря, видимых) тел. Такое движение описывается законами Ньютона, которые, как известно, являются детерминистскими. То есть, если в настоящее время нам известны координаты и скорости частиц, составляющих систему, уравнения Ньютона позволят рассчитать их положения и скорости в любой момент будущего или прошлого (долой все тонкости квантовой механики, частицы большие, ну хоть биллиардные шары — квантовой механики нам здесь совсем не нужно). Итак, будущее такой системы вроде бы можно предсказать. Однако есть тонкость. Среди механических систем имеются те, поведение которых не очень чувствительно к начальным условиям. Например, вы заводите свой автомобиль, и, стоит ли он в гараже, или у магазина, или где-нибудь на обочине, если с ним «все в порядке», он заводится и едет. И тут даже без особенно сложной математики можно руководствоваться каким-то опытом и составить вполне разумные ожидания о том, что будет происходить. Однако есть и другие системы, так называемые хаотические. Системы эти подчиняются тем же самым законам, однако их поведение исключительно чувствительно к начальным условиям. Поэтому определить «на глаз», что будет с ними дальше, выработать какую-то качественную картину ожидаемого не представляется возможным. Примерами таких систем является бурлящая вода (турбулентность) или атмосфера (хорошо известно, что предсказания погоды ненадежны, а долгосрочные — невозможны). На самом деле все обстоит еще более драматично. Дело в том, что расхождение начальных данных в таких системах приводит к расхождению траекторий, которое увеличивается со временем экспоненциально. Поэтому не только человек, но и никакой компьютер не сможет посчитать, к чему приведет малое изменение начальных данных через произвольный отрезок времени. Вернемся к предсказаниям погоды. Чем в более далекое будущее мы пытаемся заглянуть, тем неопределеннее оно становится, и за пределами десяти дней, я думаю, никакие мало-мальски детальные прогнозы просто невозможны.

Так вот, условием самой возможности знаний является относительная регулярность нашего мира, основанная на том, что хаотические системы занимают в нем относительно небольшое место. Для дотошного читателя добавлю: положение это в классической механике оправдано теоремой Колмогорова-Арнольда-Мозера, которая утверждает, что большинство механических систем, хотя и не являются интегрируемыми (то есть такими, где уравнения движения могут быть решены аналитически), большое количество времени проводят вблизи траекторий интегрируемых систем.

Следующим утверждением, которое тоже, по-видимому, принадлежит пифагорейской школе, является то, что наиболее адекватным языком, на котором можно обсуждать законы природы, является язык математики. Многие высказывания о природе, выразить которые на обыкновенном языке чрезвычайно сложно, становятся совершенно ясными и прозрачными, будучи сформулированы математически. Наверное, читатель слышал, что Пифагор заметил сходство между законами, управляющими движением планет, и законами музыки. Для человека, математически мыслящего, это сходство очевидно, он как бы слышит это, отсюда и выражение «музыка сфер». Гармония небесного свода подобна гармонии музыкальной. Так же как для восприятия последней у человека должен быть «слух» (что есть не только, да и не столько уши), так и для восприятия законов природы нужен некий внутренний орган, «умный слух».

Нетривиальность ситуации в том, что математика является «абстрактной» наукой. Когда в разговорной речи употребляют термин «абстрактный», то имеют в виду что-то, не имеющее отношения к реальной жизни. И конечно же, с математикой это в 90 % случаев так. То есть можно заниматься ею самой по себе, совершенно не обращая внимания на происходящее вокруг и не имея в виду, что результаты твоих исследований кому-нибудь, кроме твоих коллег, пригодятся. У математики есть свои внутренние проблемы, она движима своими внутренними импульсами. И вдруг!.. И вдруг результаты этих кабинетных изысканий оказываются совершенно необходимыми при изучении природы, того мира, от которого математик отвлекся и затворился. Меня лично это всегда глубоко потрясало, и без преувеличения скажу, что мой непреходящий интерес к физике основан в большой мере на этом.

Примеров того, как абстрактные идеи переставали быть абстрактными и становились в высшей степени конкретными, можно приводить бесконечно. Ну, возьмем хотя бы историю самого понятия числа. Начиналась она как раз с другого конца, то есть теория шла за практикой. Сначала думали, что есть только целые числа и дроби, потом обнаружили, что есть и иррациональные числа, такие как квадратный корень из двух или отношение длины окружности к ее диаметру (число «пи»). Все это пришло из непосредственных наблюдений; нужно было соотнести длину диагонали квадрата с его стороной или длину окружности с ее диаметром. Пифагорейский мир от этих открытий чуть не рухнул: человека, открывшего иррациональные числа, говорят, утопили. Но вот история появления мнимых чисел несколько иная (напомню, что мнимым числом является произведение любого «обычного» числа и квадратного корня из минус единицы; последний в математике обозначается символом i ). Мнимые числа возникли в математике (кажется, в XVI веке) как промежуточная ступень при решении алгебраических уравнений, то есть из нужд самой математики. Долгое время казалось, что их использование есть просто вопрос удобства и ничего глубокого за ними не стоит. Действительно, такими числами для простого счета пользоваться нельзя; не может же быть i яблок или расстояние от одного города до другого не может равняться i километрам. Однако оказалось, что мнимые числа очень даже нужны для физики, не просто нужны, а так нужны, что обойтись она без них просто не может.