Маркус дю Сотой - О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

Когда я закончил наш разговор в Skype, этот боевой клич, призывающий не бросать поисков решений неразрешимых задач, еще звенел у меня в ушах. Лицо Коха исчезло с моего экрана, оставив у меня ощущение легкого дискомфорта. Точно ли на другом конце канала связи был сам Кох? Не мог ли он разработать какой-нибудь алгоритмический аватар и поручить ему разбираться с обрушивающейся на него лавиной вопросов о возможности разрешения проблемы сознания?

Мне надоел неинтересный ассортимент рождественских хлопушек, которые можно купить в магазинах, и в этом году я решил побаловать свою семью самодельными математическими хлопушками. В каждой из них были спрятаны математическая шутка или анекдот и математический парадокс. Моей семье показалось, что в шутках было больше математики, чем юмора. Судите сами… Сколько нужно математиков, чтобы поменять лампочку? 0 и 9 в периоде. Если вам не смешно, не беспокойтесь. Мои родные тоже не смеялись. Если вы не поняли, в чем тут соль, – хотя объяснять шутки вообще-то не следует – дело в том, что можно доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,999… на самом деле равна 1.

Парадоксы были несколько интереснее. Один из них касался ленты Мебиуса, парадоксального на вид геометрического объекта, у которого есть всего лишь одна сторона. Если взять длинную полоску бумаги и, перекрутив ее, соединить концы, полученное кольцо будет односторонним. В этом можно убедиться, попытавшись закрасить ее стороны: начав закрашивать одну сторону, вы скоро обнаружите, что закрасили всю петлю. Другое удивительное свойство ленты Мебиуса заключается в том, что, если ее разрезать посередине, она не распадается на два отдельных кольца, как можно было бы ожидать, а остается целой. Она по-прежнему будет единой петлей, но теперь будет содержать два переворота.

Хлопушка, которая в результате досталась мне самому, была тем не менее очень неплохой – сам себя не похвалишь… Даже шутка была смешной: «Что значит инициал “Б.” в имени Бенуа Б. Мандельброта? – Бенуа Б. Мандельброт». Если вам все еще не смешно, вы, наверное, не учли, что именно Мандельброт открыл фракталы, о которых мы говорили на первом «рубеже», геометрические формы, структура которых не упрощается, сколько их ни увеличивай. А парадокс я взял из своих самых любимых. Он состоит из двух утверждений, приведенных в начале этой главы, записанных на разных сторонах одной и той же карточки. Меня всегда в равной степени восхищали и тревожили такого рода словесные игры. Одна из любимых книг моего детства называется «Как же называется эта книга?» [110]. Она была полна безумных языковых игр, многие из которых, начиная с ее названия, использовали логические следствия из рекурсивных ссылок.

Со временем я научился не удивляться образованным в естественном языке фразам, которые порождают парадоксы, подобные логическому порочному кругу, образованному двумя предложениями на карточке из моей рождественской хлопушки. Сама возможность формировать осмысленные предложения не означает, что каждому такому предложению всегда можно приписать истинное значение, имеющее смысл.

Мне кажется, что такая скользкая природа языка была одной из причин, по которым меня привлекла точность математики, в которой такие двусмысленности недопустимы. Но, как я объясню в этой главе, один из величайших специалистов по математической логике всех времен, Курт Гёдель, доказал именно при помощи парадокса из моей хлопушки, что даже моя собственная наука содержит истинные утверждения о числах, истинность которых мы никогда не сможем доказать.

Такое стремление к уверенности, к знанию – подлинному знанию – было одной из главных причин, по которым я предпочел математику всем остальным наукам. В естественных науках то, что, как нам кажется, мы знаем о Вселенной, – это модели, соответствующие экспериментальным данным. Модели, которые могут стать научными теориями, должны допускать возможность опровержения. Теории выживают – если они выживают – тогда, когда все имеющиеся данные соответствуют их модели. Если мы получаем новые данные, противоречащие модели, мы должны сменить модель. Научная теория по самой своей природе предполагает возможность оказаться отвергнутой. Но можем ли мы в таком случае на самом деле быть уверены в своей правоте, хоть когда-нибудь?

Когда-то мы считали, что Вселенная статична, но потом произошли новые открытия, доказавшие, что галактики разбегаются от нас. Мы полагали, что скорость расширения Вселенной уменьшается вследствие воздействия гравитации. Затем мы выяснили, что ее расширение ускоряется. Мы ввели в свою модель идею темной энергии, стремящейся раздвинуть Вселенную во все стороны. Эта модель еще ждет доказательства своей неправоты, хотя пока что вновь появляющиеся экспериментальные данные все более подтверждают ее. В конце концов мы можем найти истинную модель Вселенной, которую не смогут поколебать никакие новые открытия. Но мы никогда не сможем быть уверены в том, что справедлива именно эта модель.

В этом и состоит одна из наиболее интересных черт естественных наук – они постоянно развиваются, в них всегда появляется что-то новое. Мы можем сочувственно относиться к старым теориям, утратившим свое значение. Разумеется, новые теории вырастают из старых. Ученый постоянно опасается, что его теория, модная в данный момент и получающая многочисленные премии, внезапно может оказаться вытеснена чем-то новым. Модель атомного пудинга, идея абсолютного времени, одновременная определимость положения и импульса частиц – все они давно покинули вершину списка научных бестселлеров. Их заменили новые теории.

Та модель Вселенной, о которой я читал в школе, с тех пор была полностью переписана. Однако с математическими теоремами, которые я учил в то же время, ничего такого не произошло. Они столь же справедливы сегодня, как и в тот день, когда я их впервые прочел, как и в тот день, когда они были открыты. А с этого дня в некоторых случаях прошло целых 2000 лет. Меня, неуверенного в себе прыщавого подростка, особенно привлекала такая определенность. Это не означает, что математика статична. Она постоянно развивается по мере того, как неизвестное становится известным, но такое известное остается известным и устойчивым, образуя первые страницы очередной великой истории. Почему же процесс достижения математической истины столь отличен от того, с чем имеет дело естествоиспытатель, не имеющий надежды получить окончательное знание?