Макс Тегмарк - Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности

Из этих тезисов, взятых вместе, вытекает гипотеза математической Вселенной, то есть утверждение о том, что внешняя физическая реальность, описываемая посредством «теории всего», является математической структурой [67]. Итак, если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, то вы должны поверить и в то, что наша физическая реальность является математической структурой. Ничто больше не имеет свободного от «багажа» описания. Иными словами, мы живем в гигантском математическом объекте – гораздо более сложном, чем додекаэдр, и, вероятно, даже гораздо более сложном, чем объекты с пугающими названиями вроде многообразий Калаби – Яу, тензорных расслоений или гильбертовых пространств, которые появляются в передовых современных физических теориях. Все в нашем мире чисто математическое – включая нас самих.

«Подожди-ка!» – обычно восклицает мой друг Джастин Бендих, когда физическое утверждение наводит на важный вопрос, на который нет ответа. А гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три таких вопроса:

1. Что в точности является математической структурой?

2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?

3. Дает ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?

Мы займемся вторым из этих вопросов в гл. 11, а третьим – в гл. 12. Начнем мы с первого и вернемся к нему в гл. 12.

Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути. Рассмотрим конкретную последовательность шахматных ходов, известную как Бессмертная партия. В ней белые впечатляюще жертвуют обеими ладьями, слоном и ферзем, чтобы поставить мат тремя оставшимися легкими фигурами ( рис. 10.6 ). Здесь, на Земле, эта партия впервые была сыграна в 1851 году Адольфом Андерсеном и Лионелем Кизерицким. Ее ежегодно воспроизводят в итальянском городке Маростика живые игроки, одетые шахматными фигурами, и она регулярно повторяется множеством любителей шахмат по всему миру. Некоторые игроки (включая моего брата Пера, его сына Симона и моего сына Александра; рис. 10.6 ) пользуются деревянными фигурами, другие – фигурами из мрамора или пластмассы. Некоторые доски выкрашены в коричневый и бежевый цвета, другие в черный и белый, а некоторые являются виртуальными, нарисованными с помощью трехмерной или двумерной компьютерной графики ( рис. 10.6 ). И все же в некотором смысле ни одна из этих деталей не важна: когда любители шахмат называют Бессмертную партию красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более умозрительную сущность, которую можно назвать абстракцией партии или последовательностью ходов.

Рис. 10.6.Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации – это все равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для ее описания.

Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в Соединенных Штатах шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, мы называем bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть его не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски. Можно, однако, согласовать уникальность Бессмертной партии с множественностью ее возможных описаний, используя сильную идею эквивалентности :

1. Мы определим, что имеется в виду под эквивалентностью двух описаний.

2. Мы будем говорить, что если два описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.

Любые слова, понятия или символы, которые появляются в некоторых, но не во всех эквивалентных описаниях, очевидно, являются необязательными, а значит, относятся к «багажу». Но если мы хотим определить сущность Бессмертной партии, сколько «багажа» мы можем выбросить? Очевидно, много: компьютеры способны играть в шахматы, не имея никакого представления о человеческом языке или понятиях вроде цвета, текстуры, размеров и названий фигур. Чтобы до конца понять, как далеко мы можем зайти, необходимо дать более строгое определение эквивалентности :

Два описания эквивалентны, если между ними существует соответствие, которое сохраняет все отношения.

В шахматах используются абстрактные сущности (фигуры и поля на доске) и отношения между ними. Одно из отношений, которое фигура может иметь с полем, заключается в том, что первая стоит на втором. Другое отношение, которое фигура может иметь к полю, состоит в том, что ей позволено на него переместиться. Две центральные иллюстрации на рис. 10.6, согласно нашему определению, эквивалентны: между трехмерными и двумерными фигурами и досками существует соответствие, так что любой трехмерной фигуре, стоящей на определенном поле, соответствует двумерная фигура на соответствующем поле. Аналогично, описание шахматной позиции, выраженное лишь в словах английского языка, эквивалентно описанию, выраженному лишь в словах испанского языка, если имеется словарь, описывающий соответствие между английскими и испанскими словами, и если его применение при переводе описания на испанском дает описание на английском.

Когда газеты или веб-сайты публикуют шахматные партии, они обычно используют еще одну эквивалентную форму описания – так называемую алгебраическую шахматную нотацию ( рис. 10.6 , справа). Здесь фигуры обозначены не предметами или словами, а буквами (слон, например, эквивалентен «С»), а поля представляются буквой, задающей вертикаль, и цифрой, указывающей горизонталь. Поскольку абстрактное описание партии на рис. 10.6 ( справа ) эквивалентно ее описанию в форме видеозаписи игры на физической доске, все, что есть в последней форме описания, но не имеет соответствия в первой, является «багажом» – от физического существования доски до формы, цвета и названий фигур. Даже особенности алгебраической шахматной нотации выступают «багажом»: когда в шахматы играют компьютеры, они обычно пользуются иными абстрактными описаниями позиций, представляющими собой схемы из нулей и единиц в памяти. Так что остается после того, как мы избавляемся от «багажа»? Что именно описывается эквивалентными описаниями? Бессмертная партия, на 100 % очищенная.