Леонард Млодинов - Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Также известен как «папирус Ахмеса»; Александр Генри Ринд (Райнд, 1833–1863) – шотландский юрист и египтолог. – Прим. пер.

Resnikoff and Wells, стр. 69.

Kline, стр. 11.

Цит. по: The First Mathematicians (март, 2000); сходная, но более сложная риторическая задача есть у Клайна, стр. 9.

Kline, стр. 259.

О жизни и работе Фалеса см.: Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics (New York: Dover Publications, 1981), стр. 118–149; Jonathan Barnes, The Presocratic Philosophers (London: Routledge & Kegan Paul, 1982), стр. 1–16; George Johnston Allman , Greek Geometry from Thales to Euclid (Dublin, 1889), стр. 7–17; G. S. Kirk and J. E. Raven, The Presocratic Philosophers (Cambridge, UK: University Press, 1957), стр. 74–98; Hooper, стр. 27–38; Guthrie, стр. 39–71.

Meander (англ.) – изгиб, извилина, излучина, поворот. – Прим. пер.

Reay Tannahill, Sex in History (Scarborough House, 1992), стр. 98–99.

Richard Hibler, Life and Learning in Ancient Athens (Lanham, MD: University Press of America, 1988), стр. 21.

28 мая 585 года до н. э. по современному летоисчислению; битва между лидийцами и мидянами. – Прим. пер.

Hooper, стр. 37.

Erwin Schroedinger, Nature and the Greeks (Cambridge: Cambridge University Press, 1996), стр. 81.

Hooper, стр. 33.

О милетской жизни см.: Adelaide Dunham, The History of Miletus (London: University of London Press, 1915).

См.: Guthrie, стр. 55–80, и Peter Gorman, Pythagoras, A Life (London: Routledge & Kegan Paul, 1979), стр. 32.

Gorman, стр. 40.

Хорэс Грили (1811–1872) – американский журналист и политик, социалист-утопист, прославился фразой в своей редакторской колонке, опубликованной 13 июля 1865 г.: «Ступайте на Запад, молодой человек, ступайте на Запад…» – Прим. пер.

Наиболее полная биография Пифагора, со всеми ссылками, – гормановская. Также см.: Leslie Ralph, Pythagoras (London: Krikos, 1961).

См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107.

Jane Muir, Of Men and Numbers (New York: Dodd, Mead & Co., 1961), стр. 6.

Square deal (англ. букв.) – «квадратная сделка», употребляется в значении «справедливая, честная сделка». – Прим. пер.

Gorman, стр. 108.

Gorman, стр. 19.

Gorman, стр. 110.

Gorman, стр. 111.

Gorman, стр. 111.

Gorman, стр. 123.

Для интересующихся математикой приведем доказательство. Обозначим длину диагонали как с и начнем с допущения, что с можно выразить в виде дроби – скажем, m/n , в которой у m и n нет общих делителей, и они ни в коем случае не четные одновременно. Доказательство производится в три этапа. Первый: заметим, если с 2= 2, значит, m 2= 2 n 2. Словами: m 2– четное число. Поскольку квадраты нечетных чисел – нечетные, значит, и m само по себе должно быть четным. Второй: поскольку m и n не могут быть оба четными, значит, n должно быть нечетным. Третий: взглянем на уравнение m 2= 2 n 2с другой стороны. Поскольку m – четное, его можно записать как 2 q , при любом q . Если заменить m в m 2= 2 n 2на 2 q , получим 4 q 2= 2 n 2, что то же самое, что и 2 q 2= n 2. Это означает, что n 2, а следовательно, и n – четное.

Мы только что доказали, что если с можно записать как с = m/n , то m есть нечетное, а n – четное. Получается противоречие, а значит, исходное допущение, что с можно записать как с = m/n , – ложное. Такого рода доказательства, когда мы допускаем отрицание того, что стремимся доказать, а потом показываем, что отрицание ведет к противоречию, называется reductio ad absurdum . Это одно из изобретений пифагорейцев, и поныне полезное для математики.

Muir, стр. 12–13.

Kramer, стр. 577.

Gorman, стр 192–193.

Спиноза, знаковый философ XVII века, писал «Этику» – свой главный труд – в стиле евклидовых «Начал», вплоть до определений и аксиом, с помощью которых, как он считал, строго доказывал теоремы. См. также «Историю западной философии» Бертрана Расселла: Bertand Russell, A History of Western Philosophy (New York: Simon & Schuster, 1945), стр. 572. Авраам Линкольн, еще будучи никому не известным юристом, изучал «Начала» с целью улучшить свои навыки логики, см.: Hooper, стр. 44. Кант читал евклидову геометрию неотъемлемой частью человеческого мозга, см. Расселл. [На рус. яз.: Бенедикт Спиноза, «Этика», М., СПб, Азбука, Азбука-Аттикус, 2012, пер. Я. Боровского, Н. Иванцова; Бертран Рассел, «История западной философии», М.: Академический проект, 2009, пер. В. Целищева. – Прим. пер. ]

Heath, стр. 354–355.

Kline, стр. 89–99, 157–158.

Heath, стр. 356–370, см. также: Hooper, стр. 44–48. В 1926 году Хит лично продолжил историю «Начал», опубликовав свое издание, перепечатанное издательством «Доувер»: Sir Thomas Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (New York: Dover Publications, 1956).

«Мальтийский сокол» (1930) – детектив-нуар американского писателя Сэмюэла Дэшилла Хэммета (1894–1961). – Прим. пер.

Kline, стр. 1205.

«Let’s Make A Deal» – американская телевикторина телеканала «Эн-би-си», транслировавшаяся с 1963 по 1968 гг. – Прим. пер.

Трудный выбор, на котором основана программа «Поспорим», часто называют задачей Монти Холла, по имени ведущего программы. Проще всего разобраться в решении, нарисовав диаграмму-дерево, последовательно иллюстрирующую возможные варианты выбора. Этот метод применяется для наглядного описания теоремы Байеса в: John Freund, Mathematical Statistics (Englewood, Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1971), стр. 57–63. [Здесь и далее по тексту в квадратных скобках имена собственные даются в соответствии с произносительной нормой в тех случаях, когда она расходится с привычным написанием. – Прим. пер. ]

Martin Gardner, Entertaining Mathematical Puzzles (New York: Dover Publications, 1961), стр. 43. [На рус. яз.: Гарднер М., «Математические досуги», М: «Мир», 1972, пер. Ю. Данилова. – Прим. пер. ]

История про трудности с перигелием Меркурия изложена в: John Earman, Michael Janssen, and John D. Norton, eds., The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity (Boston: The Center for Einstein Studies, 1993), стр. 129–149. А еще есть хорошее, хоть и краткое, изложение этой же темы в: Abraham Pais, Subtle Is The Lord (Oxford: Oxford University Press, 1982), стр. 22, 253–255; цитата Леверье дана на стр. 254; «высшая точка» – на стр. 22. Геометрия всей этой истории изложена в: Resnikoff and Wells, стр. 334–336.

Три хороших современных обзора «Начал» Евклида есть в: Kline, Mathematical Thought , стр. 56–88; Jeremy Gray, Ideas of Space (Oxford: Clarendon Press, 1989), стр. 26–41; Marvin Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries (San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1974), стр. 1–113.