Леонард Млодинов - Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Миллионы лет назад некто выдавил из себя какое-нибудь мычание или хмыканье [32] См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107. , а некто другой проговорил бессмертные слова – ныне утерянные, но наверняка означавшие что-то вроде «я понимаю, о чем ты». Так произошел язык. В науке учение Пифагора о гармонии – явление того же порядка, первый пример описания физического мира в математических терминах. Не будем забывать ни на секунду, что во времена Пифагора не существовало даже простейшей математики чисел. Пифагорейцам, к примеру, открытие того, что умножение сторон прямоугольника друг на друга дает площадь этого прямоугольника, показалось подлинным откровением.

Для Пифагора и его последователей главной интригой математики виделись разнообразные численные закономерности. Пифагорейцы представляли себе числа как камешки или точки, выложенные в определенный геометрический узор. Они обнаружили, что некоторые числа можно сложить, разместив камешки на равном расстоянии в два столбика по два, в три по три и т. д. – так, чтобы получался квадрат. Пифагорейцы называли любое количество камешков, которые можно выложить таким способом, «квадратным числом», поэтому и мы зовем их до сих пор квадратами: 4, 9, 16 и т. д. Другие числа, как выяснили пифагорейцы, можно выложить так, чтобы получались треугольники: 3, 6, 10 и т. д.

Свойства квадратных и треугольных чисел завораживали Пифагора. Например, второе квадратное число, 4, равно сумме первых двух нечетных чисел, 1 + 3. Третье квадратное число, 9, равно сумме первых трех нечетных чисел, 1 + 3 + 5, и т. д. (То же верно и для первого квадрата: 1 = 1.) Пифагор заметил и то, что, подобно равенству квадратных чисел сумме соответствующих предыдущих нечетных чисел, треугольные числа есть сумма всех последовательных чисел, четных и нечетных. Да и сами квадратные и треугольные числа взаимосвязаны: если сложить треугольное число с предыдущим или следующим треугольным, получится квадратное число.

Теорема Пифагора тоже наверняка показалась волшебством. Вообразите древних ученых, исследующих треугольники все сортов, а не одни лишь прямоугольные, измеряющих все углы и стороны, крутя их и сравнивая друг с другом. Случись такое исследование в наше время, университеты посвятили бы ему отдельный предмет.

«Мой сын устроился на математический факультет в Беркли, – говорила бы в таком случае какая-нибудь гордая мать. – Треугольники преподает». И вот однажды ее сынуля обнаруживает любопытную закономерность: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Оказывается, это правило действует для больших треугольников, маленьких, толстых, коротких, одним словом – для любого прямоугольного треугольника из всех, какие когда-либо попадались под руку, однако не для любого треугольника вообще. Это открытие наверняка удостоилось бы заголовков в «Нью-Йорк Таймс»: «У прямоугольных треугольников обнаружена поразительная закономерность», – а ниже, помельче: «Практическую применимость предстоит установить еще не скоро».

Пифагоровы фигуры из камешков

Почему стороны прямоугольного треугольника обязаны всегда следовать настолько простому правилу? Теорему Пифагора можно доказать геометрическим умножением, которое любил применять сам Пифагор. Неизвестно, этим ли манером доказывал свою теорему ее создатель, однако способ вполне наглядный – потому что целиком геометрический. Сейчас-то существуют доказательства попроще – они полагаются на алгебру или даже тригонометрию, но ни той, ни другой во времена Пифагора не существовало. Но и геометрическое доказательство незатейливо: это лишь слегка вывихнутая математическая версия игры «соедини точки».

Для доказательства теоремы Пифагора геометрически потребуется знать всего один расчетный факт: площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Это просто-напросто современная формулировка Пифагоровой аналогии с камешками. Берем любой прямоугольный треугольник и строим на его сторонах по квадрату: один со сторонами, равными гипотенузе, и два – со сторонами, равными соответствующим длинам других сторон. Площадь каждого из этих трех квадратов есть квадрат длины соответствующей стороны треугольника. Если удастся доказать, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, это и будет доказательством теоремы Пифагора.

Чтобы все упростить, дадим сторонам треугольника имена. У гипотенузы оно уже есть, хоть и длинноватое, но пусть и останется, будем просто писать его с большой буквы – Гипотенуза, – чтобы точно понимать: речь идет об этой конкретной гипотенузе, а не вообще. А два катета назовем Алексеем и Николаем. Удивительное совпадение: именно так зовут двоих сыновей автора книги. На момент написания этой главы Алексей длиннее, а Николай – короче; договоримся учесть эту разницу при поименовании сторон треугольника (хотя доказательство прекрасно справляется и в случае с равными сторонами). Начнем с построения квадрата, длина каждой стороны которого равна сумме длин Алексея и Николая. Далее поставим на каждой стороне по точке, отделив таким образом сегмент длины Николая от Алексея, после чего соединим эти точки. Это можно проделать несколькими способами, но те два, которые интересны нам, обозначены на рисунке, стр. 43. В одном случае выйдет квадрат, чьи стороны равны Гипотенузе, и еще четыре треугольника-«обрезка». В другом получится два квадрата, чьи стороны равны Алексею и Николаю, а сверх того – два прямоугольника-обрезка, которые можно рассечь по диагонали и получить четыре треугольника, в точности равных тем, что у нас получились в обрезках в первом случае.

Остальное – дело счета. У двух построенных квадратов площади одинаковые, поэтому если выкинуть площади четырех треугольников-обрезков из обоих построений, оставшиеся площади недвижимости равны между собой. Однако в первом случае это квадрат со стороной, равной длине Гипотенузы, а во втором – это сумма двух квадратов с длинами сторон, равными Алексею и Николаю. Теорема доказана!

Под впечатлением от этого триумфа знания один из учеников Пифагора написал [33] Jane Muir, Of Men and Numbers (New York: Dodd, Mead & Co., 1961), стр. 6. , что «не будь чисел и их природы, ничто существующее никому не было бы ясно». Пифагорейцы отразили основы своей философии в термине «математика» – от греческого «матема», т. е. «наука», «знание». Смысл слова отражает близкую связь понятий, хотя ныне существует четкое разграничение между математикой и наукой, но оно, как мы еще увидим, не было столь отчетливым вплоть до XIX века.