Мартин Гарднер - Математические чудеса и тайны

Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, Ви С, а через X— потерю или прирост площади, мы получим следующие две формулы:

А + В = С

В 2= АС ± Х

Если подставить вместо Xжелаемый прирост или потерю, а вместо Вчисло, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональных чисел это, конечно, можно достигнуть. Так, ряд Фибоначчи 2 1/2, 2·2 1/2, 3·2 1/2, 5·2 1/2 дает прирост или потерю в две квадратные единицы, а ряд 3 1/2, 2·3 1/2, 3·3 1/2, 5·3 1/2приводит к приросту или потере в три квадратные единицы.

Вариант с прямоугольником

Существует много способов, которыми прямоугольник можно разрезать на небольшое число частей, а затем сложить их в виде другого прямоугольника большей или меньшей площади. На рис. 61 изображен парадокс, также основанный на ряде Фибоначчи.

Подобно только что рассмотренному случаю с квадратом, выбор какого-нибудь числа Фибоначчи из «второй» подпоследовательности в качестве ширины первого прямоугольника (в рассматриваемом случае 13) приводит к увеличению площади второго прямоугольника на одну квадратную единицу.

Если же за ширину первого прямоугольника принять какое-нибудь число Фибоначчи из «дополнительной» подпоследовательности, то во втором прямоугольнике площадь уменьшится на одну единицу. Потери и приросты площади объясняются небольшими перекрываниями или просветами вдоль диагонального разреза второго прямоугольника. Другой вариант такого прямоугольника, показанный на рис. 62, при построении второго прямоугольника приводит к увеличению площади на две квадратные единицы.

Если заштрихованную часть площяди второго прямоугольника поместить над незаштрихованной частью, два диагональных разреза сольются в одну большую диагональ. Переставляя теперь части Аи В(как на рис. 61), мы получим второй прямоугольник большей площади.

Еще один вариант парадокса

При суммировании площадей частей перестановка треугольников Ви Св верхней части рис. 63 приводит к кажущейся потере одной квадратной единицы.

Как читатель заметит, это происходит за счет площадей заштрихованных частей: на верхней части рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков, на нижней — 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их фигурами специального вида, мы приходим к новой, поразительной форме парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, который можно разрезать на 5 частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник, причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними, внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу (рис. 64).

Возможность преобразования одной фигуры в другую, тех же внешних размеров, но с отверстием внутри периметра, основана на следующем. Если взять точку Xточно в трех единицах от основания и в пяти единицах от боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не будет. Однако ломаная, соединяющая точку Xс противоположными вершинами прямоугольника, будет так мало отклоняться от диагонали, что это будет почти незаметно.

После перестановки треугольников Ви Сна нижней половине рисунка части фигуры будут слегка перекрываться вдоль диагонали.

С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию, соединяющую противоположные вершины прямоугольника, как точно проведенную диагональ, то линия XWбудет чуть длиннее трех единиц. И как следствие этого второй прямоугольник будет несколько выше, чем кажется. В первом случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае недостающий квадратик распределен по ширине прямоугольника. Как мы уже знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному из этих двух вариантов построения. В обоих случаях неточности фигур настолько незначительны, что они оказываются совершенно незаметными.

Наиболее изящной формой этого парадокса являются квадраты, которые после перераспределения частей и образования отверстия остаются квадратами.

Такие квадраты известны в бесчисленных вариантах и с отверстиями в любое число квадратных единиц. Некоторые, наиболее интересные из них изображены на рис. 65 и 66.

Можно указать на простую формулу, связывающую размер отверстия с пропорциями большого треугольника. Три размера, о которых пойдет речь, мы обозначим через А, Вк С(рис. 67).

Площадь отверстия в квадратных единицах равна разности между произведением Ана Си ближайшим к нему кратным размера В. Так, в последнем примере произведение Аи Сравно 25. Ближайшее кратное размера Вк 25 есть 24, поэтому отверстие получается в одну квадратную единицу. Это правило действует независимо от того, проведена ли настоящая диагональ или же точка Xна рис. 67 нанесена аккуратно на пересечении линий квадратной сетки.

Если диагональ, как это и должно быть, вычерчивается как строго прямая линия или если точка Xберется точно в одной из вершин квадратной сетки, то никакого парадокса не получается. В этих случаях формула дает отверстие размером в нуль квадратных единиц, обозначая этим, конечно, что отверстия нет вообще.

Вариант с треугольником

Вернемся к первому примеру парадокса (см. рис. 64). Заметим, что большой треугольник А не меняет своего положения, в то время как остальные части перемещаются. Поскольку этот треугольник не играет существенной роли в парадоксе, его можно вообще отбросить, оставляя только правый треугольник, разрезанный на четыре части. Эти части можно затем перераспределить, получая при этом прямоугольный треугольник с отверстием (рис. 68), будто бы равный исходному.