Дарья Нестерова - Энциклопедия лучших игр со словами и цифрами

В ряд выложили 2001 монету достоинством 5, 10 и 50 копеек. Оказалось, что между любыми двумя пятикопеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между двумя десятикопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя пятидесятикопеечными монетами лежат хотя бы три монеты.

Определите, сколько в ряду пятидесятикопеечных монет.

Подсказка: сначала определите, сколько пятидесятикопеечных монет может быть среди четырех взятых подряд монет.

Ответ

Рассмотрим любые четыре идущие подряд монеты и попробуем доказать, что среди них

есть одна пятидесятикопеечная. Если среди них нет пятидесятикопеечной, то пятикопеечные и десятикопеечные монеты чередуются, что невозможно.

Двух пятидесятикопеечных монет тоже быть не может, поскольку между ними должно быть хотя бы три монеты. Из этого можно сделать вывод, что среди первых 2000 монет ровно 500 пятидесятикопеечных. Следовательно, всего пятидесятикопеечных монет может быть 500 или 501.

Условие

В некотором королевстве правил король. Все мужчины этого королевства хорошо разбирались в математике, все они почитали своего короля и выполняли все, что он им прикажет.

Король всегда говорил только правду. Все выстрелы в королевстве слышны в каждом доме, а все перечисленные факты известны каждому жителю королевства.

Король был озабочен неверностью некоторых жен в королевстве и решил покончить с их изменами раз и навсегда. Поэтому он собрал всех женатых мужчин на городской площади и сделал следующее заявление: «Существует

по крайней мере одна неверная жена в королевстве. Все женатые мужчины знают о верности или неверности всех чужих жен, но о своей супруге не имеют никакой информации. Я запрещаю вам обсуждать верность своей жены с другими мужчинами. Как только муж узнает, что его жена изменяет ему, он должен застрелить ее в тот же день в полночь».

Тридцать девять тихих ночей минуло после речи короля. В сороковую ночь прозвучали выстрелы. Сколько жен было убито?

Подсказка: муж верной жены знает обо всех неверных женах, муж неверной – обо всех, кроме одной.

Ответ

Обозначим n число неверных жен. Тогда муж каждой неверной жены знает о существовании (n – 1) неверных жен. Пусть n = 1. Тогда муж этой жены полагает, что все жены верны.

Услышав от короля, что существует по крайней мере 1 неверная жена, он понимает, что это его супруга, которую он обязан застрелить.

Далее пусть n = 2. Мужья этих женщин полагают, что в королевстве есть лишь 1 неверная жена, и ждут, что ее супруг застрелит ее в первую же ночь. Поскольку убийства не произошло, это значит, что их собственная жена неверна и ее следует застрелить.

Действуя далее по индукции, получаем, что n неверных жен будет застрелено в n-ю ночь, то есть в сороковую ночь было убито 40 неверных жен.

Условие

Даша и Наташа хотят отправиться в гости к Саше. Все они живут на одной и той же улице в разных домах, но Даша и Наташа не знают, где живет Саша. Дома на улице имеют номера от 1 до 99.

Даша спросила Сашу: «Верно ли, что номер твоего дома – полный квадрат?». Саша ответил. Затем Даша спросила: «Верно ли, что номер твоего дома больше 50?». Саша ответил.

Затем Даша подумала, что она знает адрес Саши, и пошла к нему в гости. Оказалось, что она ошиблась, что и неудивительно, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.

Подсказка: известно, что Саша на все четыре вопроса ответил утвердительно.

После этого Наташа спросила Сашу: «Верно ли, что номер твоего дома – полный куб?». Саша ответил. Затем Наташа спросила: «Верно ли, что номер твоего дома больше 25?». Саша ответил.

Наташа решила, что она знает номер дома Саши, и отправилась к нему в гости. Оказалось, что и она ошиблась, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.

Определите адрес всех троих друзей, если известно, что номер дома Саши меньше, чем номера домов девушек и что сумма всех номеров – удвоенный полный квадрат.

Ответ

Обозначим Nd, Nn, Ns номера домов Даши, Наташи и Саши. Очевидно, что Саша ответил Даше оба раза утвердительно.

Существует только 2 квадрата больше 50: 64 и 81 – значит в одном из этих домов живет Даша.

Поэтому она и подумала, что Саша живет в другом. Значит, на самом деле Ns > 50 и Ns = 64 и ? 81; Nd ? 64 или Nd = 81.

Аналогично Саша ответил Наташе оба раза «да». Существует только 2 куба больше 25 – 27 и 64, значит в одном из этих домов живет Наташа.

Именно поэтому она и подумала, что Саша живет по другому адресу.

Учитывая, что деле Ns > 50, Ns ? 64 и ? 81, получаем Nd = 81, Nn = 64, Ns > 50, Ns < 64. Перебором находим, что Ns = 55 (81 + 64 + 55 = 2х 102).

Получается, что номер дома Даши 81, Наташи – 64, а Саши – 55.

Условие

В одном из учебников по математике написано, что наибольшее известное простое число – это разность 23021377 – 1.

Не опечатка ли это?

Подсказка: попробуйте найти последнюю цифру этого числа.

Ответ

Это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося на 1, тоже оканчивается на 1. Поэтому разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

Условие

Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.

На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

Подсказка: если придут 10 гостей, каждый должен получить не меньше 2 кусков, иначе торт невозможно было бы разделить поровну на 11 человек.

Ответ

Хозяйке следует разрезать торт на 20 кусков. Докажем сначала, что разрезать торт меньше, чем на 20 кусков, не удастся. Если придут

10 человек, то каждый из них должен получить не меньше 2 кусков. В самом деле, в противном случае один из 10 гостей получил бы 1 кусок и 1/10 часть торта, а если бы пришло

11 гостей, то этот кусок нужно было бы дополнительно разрезать.

Таким образом, количество кусков не меньше, чем 2 ? 10 = 20.

Покажем, что 20 кусков торта хватит всем гостям. Разрежем торт на 10 кусков по 1/11 части и на 10 кусков по 1/110 части. Если придут 10 гостей, то каждый получит один большой кусок и один маленький – всего 1/11 + 1/110 = 1/10. Если же придут 11 человек, то 10 из них получат по 1 большому куску, а 1 человек – 10 маленьких кусков.

Условие

Пьер никогда не проигрывает в рулетку больше 4 раз подряд и никогда не ставит на кон больше 20 долларов.

Каким образом он может выиграть 1000 долларов, если в случае выигрыша в рулетку возвращается удвоенная ставка и в самом начале игры у Пьера есть 100 долларов?

Подсказка: Пьер может делать ставки таким образом, чтобы выигрыш приходился на ставки, размеры которых больше предыдущих проигрышей. Для этого следует увеличить ставку после проигрыша.