Льюис Кэрролл - Льюис Кэрролл: Досуги математические и не только (ЛП)

(2) когда h = 1, k > 1;

(3) когда h > 1, k > 1.

При определённых ограничениях в отношении величин h , k и n , этот Способ окажется более короткой и более надёжной процедурой, чем обычное деление столбиком. Ограничения эти таковы: ни h , ни k не должны превышать 12, и когда k > 1, n не должно быть меньше, чем 3; вне этих ограничений нашему Способу присущи трудности, которые делают предпочтительной обычную процедуру.

При данном Способе требуются две раздельные процедуры — одна предназначена для случаев, когда h > 1, другая же для случаев, когда k > 1. Первая из этих процедур была, я полагаю, впервые открыта мной, а вторая — моим племянником, мистером Бертрамом Дж. Коллингвудом, который сообщил мне свой Способ, пригодный для делителей вида 10 n – k .

В нижеследующем изложении я заменяю «10» буквой t [7].

Способ мистера Коллингвуда для делителей вида t n – k может быть изложен следующим образом:

«Чтобы разделить данное число на t n – k , отделяем в нём период из n цифр, начиная от разряда единиц, а затем записываем под ним увеличенное в k раз число, остающееся от первоначального при вычёркивании этого периода. Если это число содержит более чем n цифр, поступаем с ним тем же образом — и так далее, пока не будет достигнуто число, содержащее менее n цифр. Затем всё суммируем снизу доверху. Если последний период итога плюс увеличенная в k раз цифра, что была заимствована у него в процессе суммирования, будет меньше, чем наш делитель, то это и есть искомый остаток; оставшаяся часть итога есть искомое частное. Если этот [период] не меньше [делителя], то находим, какое количество раз он вмещает делитель, прибавляем это количество к частному и вычитаем это кратное делителя из остатка».

Например, чтобы разделить число 86781592485703152764092 на 9993 (то есть на t 4– 7), действуем так:

Этот новый Способ лучше всего прояснить, если начать со случая (3); легко будет видеть, какие изменения следует в нём произвести, когда дело перейдёт на случаи (1) и (2).

Правило для случая (3) и при знаке «–», может быть изложено так.

Разбить делимое, начиная с разряда единиц, на периоды по n цифр. При наличии с левой стороны избытка, меньшего, чем h , его не отграничивать, но отнести его и соседние n цифр к одному периоду.

Чтобы выстроить всю задачу, записываем делитель перед идущей за ним двойной вертикальной чертой, далее записываем делимое, разбитое на соответствующие периоды одинарными вертикальными чертами так, чтобы каждое пространство от черты до черты вмещало по n + 2 цифры. Под делимым проводим одинарную черту, а ещё ниже — двойную, оставив между ними пространство для внесения частного с расположением его разряда единиц под таковым предпоследнего периода делимого, а также остатка с расположением его разряда единиц под таковым последнего периода делимого. В этом пространстве и в пространстве ниже двойной черты проводим вертикальные черты, соответствующие таковым в делимом; а последнюю в верхнем пространстве делаем двойной, чтобы отделить частное от остатка.

Например, если нам нужно разделить число 5984407103826 на 6997 (то есть на 7 t 3– 3), то вся задача, подготовленная для решения, будет выглядеть так:

Чтобы решить этот пример, разделим первый период на h , внесём частное от этого деления в первый столбец под двойной линией и поместим остаток от него над вторым периодом, где он будет выполнять роль префикса к этому периоду. Ко второму периоду с его префиксом прибавим увеличенное в k раз число из первого столбца и внесём результат в верхнюю ячейку второго столбца [под двойной чертой]. Если это число не меньше, чем наш делитель, то найдём, какое количество раз оно вмещает делитель и внесём это количество в первый столбец и его же, увеличенное в k раз, во второй; затем проведём черту под вторым столбцом и приплюсуем это новое значение, вычитая из результата число, только что введённое в первую колонку, увеличенное в t n раз; а затем просуммируем первую колонку, вписывая результат в графу «Частное». Если число вверху второй колонки меньше, чем делитель, то число в первой колонке можно вносить в «Частное» сразу же. Число, внесённое в графу «Частное», и число в самом низу второй колонки суть наши частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Теперь возьмём число, что в самом низу второй колонки, как новый второй период, и третий период как новый второй период и продолжим как ранее.

Верхний пример, решаемый в соответствие с этим Правилом, будет выглядеть так:

Ход рассуждения при этом следующий.

Делим число 5984 на 7, внося частное, 854, в первый столбец и помещая остаток, 6, над вторым периодом. Затем прибавляем к 6407 утроенное 854, внося результат во второй столбец следующим образом. «7 и 12 будет 19». Вносим 9, 1 в уме. «1 и 15 будет 16». Вносим 6, 1 в уме. «5 и 24 будет 29». Вносим 9, 2 в уме, которое, прибавленное к префиксу 6, даёт 8, которое также вносим. Отметив для себя, что это 8969 не меньше, чем наш делитель, и что оно содержит этот делитель единожды , вносим 1 в первый столбец, трижды 1 — во второй, затем проводим снизу черту и приплюсовываем это новое значение, не забывая вычесть из результата усемерённое t 3, то есть 7000; в итоге получаем 1972. Затем суммируем первый столбец снизу вплоть до двойной черты и вносим результат, 855, в графу «Частное». Теперь берём 1972 как новый первый период, а третий период, 103, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом [8]. Проводим двойную черту под 1972 и делим его на 7, внося частное от деления, 281, под двойную черту, а остаток, 5, ставя над третьим периодом. Затем прибавляем к 5103 утроенное 281, внося результат, 5946, в третий столбец; отмечаем для себя, что он меньше делителя. Затем суммируем второй столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 281, в графу «Частное». Теперь берём 5946 как новый первый период, а конечный период, 826, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом. Проводим двойную черту по 5946 и делим его на 7, внося частное, 849, под двойную черту, а остаток, 3, ставя над конечным периодом. Теперь прибавляем к 3826 утроенное 849, внося результат, 6373, который, как можно было предвидеть, непременно будет меньше делителя, в ячейку «Остаток». Затем суммируем третий столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 849, конечным периодом в графу «Частное».