Анатолий Фоменко - Как было на самом деле. Каждая история желает быть рассказанной

Рассматриваемая диссертация является выдающимся научным трудом, содержащим принципиально новые результаты в очень трудной классической области, имеющие окончательный характер».

Д. В. Аносов. – «Предложена обобщенная постановка многомерной задачи Плато. Доказана теорема существования минимального компакта при этой обобщенной постановке задачи и его регулярности всюду.

Получена оценка минимальных компактов, реализующих циклы и т. д. Полученные диссертантом результаты едва ли нуждаются в особых комментариях, так как они являются новыми и очень сильными при любой, сколько угодно классической оценке задачи. Диссертация является ценным вкладом в науку и безусловно удовлетворяет самым строгим требованиям».

В. М. Алексеев. – «В диссертации решена весьма важная и интересная математическая проблема (многомерная задача Плато в классе «спектральных поверхностей»). Автором предложено обобщение классической задачи Плато, которое естественно увязывает ее с современными разделами топологии. Для этой обобщенной постановки автором получена теорема существования. Разработанные диссертантом методы и их конструкции позволяют эффективно находить решение задачи минимизации в важном классе конкретных примеров и получать информацию о дифференциально-геометрических и топологических свойствах изучаемых объектов. Рассматриваемая диссертация удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к диссертациям».

Далее выступил академик П. С. Александров.В частности он сказал: «Мне кажется, что имеется довольно общеизвестная истина, что основное бедствие, которое испытывает математика и которое влияет на большинство других наук, заключается в чрезвычайном количественном, а не качественном росте разобщенных работ. И в общем это «грандиозное строительство» несколько напоминает строительство Вавилонской башни, результатом которого было то, что строители заговорили на разных языках и потеряли способность понимать друг друга, на чем это строительство, как это написано в Библии, и закончилось. Боюсь, что нечто подобное происходит сейчас в математике. Чтобы избежать этого, необходимо усилия наших исследователей направить на решение таких проблем, чтобы поводом для исследования было не желание написать какую-то работу, защитить ее и добиться того, чтобы его процитировали коллеги, а на действительно честную потребность в решении чего-то существенного, обогащающего науку…

Хочу сказать, что рассматриваемая работа (я даже не хочу называть ее диссертацией потому, что один из оппонентов уже сказал, что эта работа есть совокупность двух докторских диссертаций), – демонстрирует здесь по существу сочетание чистого интереса к науке и прекрасного вкуса в этой научной честности. Широта познания, а также интересы диссертанта сыграли весьма существенную роль в полученных результатах, потому что из того, что здесь говорилось, можно усмотреть, что тут происходит чрезвычайно увлекательная игра между геометрическими и алгебраическими, по существу, теоретико-множественными понятиями. И я думаю, что без такого владения всеми основными направлениями в современной топологии, в современной геометрии и направлениями современной алгебры, в направлении классической формы, и в направлении теоретико-множественном, – не владей автор работы всеми этими вещами, едва ли он мог бы найти пути, которые ведут к решению поставленной задачи, и едва ли он мог бы поставить эту задачу так, как ее нужно было поставить и как он ее поставил. И недаром тут было сказано, что эта теория обращена ко всей математике. Так вот, эту поглощающую все работу, автор проделал в полной мере и с большим увлечением нам доложил ее здесь…

И все мы прекрасно понимаем, что работа диссертанта – это большой шаг вперед, сделанный в науке математике, и что автор ее не только достоин степени доктора, но он достоин еще гораздо более высокого звания, звания настоящего математика, настоящего ученого и настоящего представителя своей науки. Вот то впечатление, которое я вынес от этой защиты и которым хотел поделиться с вами, членами Ученого Совета». (Конец цитаты).

Теперь вкратце и наглядно объясню – что такое «проблема Плато», и что, собственно говоря, мне удалось сделать. Когда бельгийский физик Жозеф Плато в XIX веке начал опыты по изучению конфигурации мыльных пленок, он вряд ли предполагал, что они послужат толчком к развитию целого научного направления, бурно развивающегося до настоящего времени и известного под названием «проблема Плато». Опыты Плато хорошо знакомы нам с детства – это выдувание мыльных пузырей или конструирование мыльных пленок, затягивающих проволочный контур.

Берем гибкую тонкую проволоку, туалетное мыло и миску воды. Растворяем мыло в теплой воде, добавляем ложку глицерина. Из проволоки делаем замкнутый контур с ручкой. Опускаем его в мыльный раствор и осторожно вынимаем. На нем повисает красивая радужная мыльная пленка, ограниченная этим контуром. Замысловато изгибая контур, можно получать самые разнообразные формы пленок. Физический принцип, лежащий в основе возникновения мыльных пленок, достаточно прост: физическая система сохраняет свою конфигурацию только в том случае, когда она не может легко изменить ее, заняв положение с меньшим значением энергии. Энергия мыльной пленки пропорциональна ее площади. Поэтому жидкая пленка превращается в эластичную поверхность, стремящуюся минимизировать свою площадь, и, следовательно, минимизировать энергию натяжения, приходящуюся на единицу площади. Минимальные поверхности встречаются в живой природе и физике как поверхности раздела двух сред с одинаковым давлением, находящихся в равновесии.

Таким образом, математической моделью мыльной пленки служит гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность минимальной площади, затягивающая данный контур, рис. 3.38. Математики называют ее минимальной поверхностью. Такие поверхности являются математическим объектом, достаточно хорошо моделирующим физические мыльные пленки. Математическая теория минимальных поверхностей относится к так называемому вариационному исчислению – области анализа и геометрии, возникшей в XVIII веке. В наши дни для развития теории минимальных поверхностей привлекаются современные средства топологии и дифференциальной геометрии. Это богатая и сложная наука. Здесь переплетаются теории дифференциальных уравнений, групп Ли, гомологий и когомологий, бордизмов и т. д.

Рис. 3.38. Мыльная пленка = минимальная поверхность, затягивающая замкнутый проволочный контур.