Эндрю Ходжес - Игра в имитацию

Это было лишь первой ступенью исследования, поскольку математикам было хорошо известно, что существует великое множество возможных способов расположить «бесконечное множество» в определенном порядке. Кантор обнаружил эту особенность, когда исследовал понятие упорядочивания целых чисел. К примеру, предположим, что целые числа расположены следующим образом: сначала идут все четные числа в порядке возрастания, а затем уже все нечетные числа. Такой список целых чисел будет буквально в два раза длиннее обычного. Его можно сделать и в три раза длиннее или даже длиннее в бесконечное количество раз, указав сначала все четные числа, затем из оставшихся — все числа, делимые на три, затем из оставшихся — все числа, делимые на пять, затем из оставшихся — все числа, делимые на семь, и так далее. Действительно, такой список мог продолжаться до бесконечности. Подобным образом расширение аксиоматики может быть представлено одним бесконечным списком аксиом, одним или двумя, или же бесконечным числом списков — в этом отношении тоже не существовало пределов. Но вопрос оставался прежним: сможет ли хоть один из таких списков преодолеть результат Гёделя.

Кантор применил по отношению к своим разным упорядочениям целых чисел понятие «порядковых чисел», или «ординалов». Подобным образом Алан назвал свои расширения набора аксиом арифметики «ординальными логиками». В некоторым смысле было ясно, что ни одна «ординальная логика» не может быть «полной» в рамках программы Гильберта. Если и существует бесконечное множество аксиом, все они не могут быть записаны. Здесь появлялась необходимость установить правило, ограничивающее их генерирование. Но в таком случае вся система снова будет основываться на конечном наборе правил, так что теорема Гёделя все еще будет применимой для доказательства существования недоказуемых утверждений.

Вместе с тем возникал еще один тонкий вопрос. В его теории «ординальных логик» правило генерирования аксиом предполагало замену «ординальной формулы» определенным выражением. Такой процесс сам по себе являлся механистическим. Но механистический процесс не мог принять решение, является ли данная формула ординальной. Так, он пришел к вопросу: может ли вся неполнота арифметики быть сосредоточена в одном месте, а именно — в неразрешимой проблеме определения, какая формула является ординальной. В таком случае в некотором смысле арифметика могла быть полной, а все утверждения могли быть доказаны при помощи аксиом, хотя и без механистического метода определения, каких именно аксиом.

Процесс определения, является ли формула ординальной, он связал с понятием «интуиции». В рамках одной «полной ординальной логики», любая теорема могла быть доказана с помощью механистического рассуждения и нескольких этапов «интуиции». Таким образом он надеялся взять под контроль «неполноту» Гёделя. Но результаты работы казались ему отрицательными. «Полные логики» действительно существовали, но обладали очевидным недостатком: никто не мог подсчитать количество этапов процесса «интуиции», требуемых для доказательства конкретной теоремы. Еще не существовало никакого способа, говоря его словами, измерить «глубину» теоремы.

Весьма интересным «штрихом» в работе оказалась идея «предсказывающей» машины Тьюринга, которая обладала способностью решить одну конкретную неразрешимую проблему (например, определения ординальных формул). Такая мысль открыла новую идею относительной вычислимости, или относительной неразрешимости, которые в свою очередь открыли целую новую область исследований в рамках математической логики. Возможно, в тот момент Алан думал об «оракуле» из пьесы «Назад к Мафусаилу», в чьи уста Бернард Шоу вложил свое решение неразрешимых задач политиков: «Убирайся восвояси, дурак!»

Также неясным из его примечаний в работе оставалось то, до какой степени, по его мнению, такая «интуиция», способность распознавать верные, но недоказуемые утверждения, соотносилась с человеческим разумом. По этому поводу он писал, что математическое рассуждение может рассматриваться в довольно схематичном виде как использование комбинации двух способностей, которые мы можем назвать интуицией и изобретательностью. (Здесь мы не учитываем наиболее значимую способность различать предметы интереса; на самом деле, мы видим задачу математика только в определении верности или ложности утверждений.) Процесс интуиции включает в себя создание спонтанных суждений, которые не являются результатом длительных рассуждений. (…)

А также заявил, что его идеи в рамках системы «ординальных логик» представляли собой один способ формализовать это различие. Но еще не было установлено, что «интуиция» имела какое-то отношение к неполноте конечно определенных формальных систем. В конце концов, никто не подозревал об этой неполноте до 1931 года, в то время как понятие интуиции было известно с давних времен. Подобная двусмысленность уже возникала в работе «О вычислимых числах», в которой он попытался механизировать человеческий разум и в то же время указывал на невозможность механизации всех его аспектов. На данном этапе его исследований, его взгляды по этому вопросу оставались неясными.

Что касается его дальнейших планов, намерение Алана вернуться в Кингз-Колледж могло означать, что, как и ожидалось, они продлили его членство в совете колледжа, которое в марте 1938 года подходило к концу. С другой стороны, отец писал ему, советуя (возможно, это было не совсем патриотично с его стороны) поискать себе должность в Соединенных Штатах. По какой-то причине Кингз-Колледж не торопился уведомить Алана о продленном членства в совете колледжа. В письме Филиппу Холлу от 30 марта Алан писал:

В данное время я работаю над своей диссертационной работой на соискание степени доктора наук, предмет исследования которой оказался весьма трудным для решения поставленных мною задач, поэтому мне постоянно приходится переписывать заново целые части работ. (…)

Меня немало взволновало то обстоятельство, что я сам еще ничего не слышал о своем переизбрании в члены совета колледжа. Наиболее вероятным тому объяснением станет новость, что никакого переизбрания и не было, но (я) предпочитаю думать, что на то есть какая-то иная причина. Если бы вы смогли осторожно расспросить о том неловком положении, в котором я сейчас оказался, и прислать мне ответ открыткой, я был бы вам очень признателен.

Надеюсь, Гитлер не успеет захватить Англию до моего возвращения.

После установления союза с Австрией 13 марта все начали воспринимать угрозу Германии более серьезно. Тем временем Алан обратился к Эйзенхарту и спросил у него, имеются ли «здесь подходящие вакансии; главным образом, чтобы просто передать информацию отцу, поскольку сам я считаю маловероятным, что займу здесь должность, только если вы не вступите в войну до начала июля. На тот момент он не имел сведений об открытых вакансиях, но пообещал не забыть о моем вопросе.» Вскоре такая должность внезапно появилась. Сам фон Нейман открыл должность своего научного ассистента при Институте перспективных исследований.