Тяпкин А.,Шибанов А. - Пуанкаре

Первые работы Пуанкаре сразу же привлекли к нему внимание европейских математиков, заставили их пристально следить за его уверенными шагами. Следить и удивляться. Маститый немецкий математик Карл Вейерштрасс в письме к своей любимой ученице Софье Ковалевской пишет: «Обратила ли ты внимание на последние работы Пуанкаре? Это, во всяком случае, крупный математический талант. Вообще, теперь во Франции молодое поколение математиков с большим успехом стремится к новым достижениям и в области анализа, единственным представителем которого после отхода Лиувилля долгое время оставался Эрмит. Исследования, начатые Пуанкаре в связи с работами Фукса, Шварца и Клейна, во всяком случае, приведут к новым аналитическим трансцендентным, даже если он еще не находится на верном пути».

В письме Вейерштрасса упоминается фамилия еще одного участника описываемых событий. Речь идет о немецком математике Феликсе Клейне, весьма примечательной фигуре в науке того времени.

За несколько лет до того, как Пуанкаре, став студентом Политехнической школы, перебрался в Париж, туда приехал из Геттингена двадцатидвухлетний Клейн. На заре своей научной деятельности он вместе со своим другом, норвежским математиком Софусом Ли, совершил паломничество в столицу Франции. Научная слава вскоре осенит обоих математиков своим крылом, а пока они неутомимо постигают новые для них идеи и методы. В Париже их внимание привлекают работы К. Жордана и Г. Дарбу, с которыми у молодых зарубежных коллег завязывается тесное знакомство. Только что вышедший «Трактат» Жордана открывает им глаза на возможность применения теории групп как полезнейшего инструмента математических исследований, в частности в теории уравнений. Но благотворное знакомство с французской математикой было недолгим, во всяком случае для Клейна. Внезапно разразившаяся франко-прусская война вынуждает его возвратиться в Германию, где он отбывает военную службу в запасных частях. В октябре он неожиданно заболевает тифом. Оправившись после тяжелой болезни, Клейн возвращается в Геттинген и оттуда ведет интенсивную переписку с Г. Дарбу и С. Ли.

Известность приходит к Клейну в 1872 году, когда он вступает в должность профессора университета в Эрлангене. По традиции ему полагалось выступить перед будущими коллегами с программным докладом. Подводя итоги своим двухлетним исследованиям, молодой математик дал столь ясную и отчетливую перспективу дальнейшего развития геометрии, что эта лекция навсегда вошла в фонд научной классики под громким названием «Эрлангенской программы».

Геометрия к тому времени превратилась в весьма расчлененную науку, многие разделы которой настолько далеко разошлись друг от друга, что казались совершенно несвязанными. Наряду со старой, известной с древних времен евклидовой геометрией в математике появились неевклидова, проективная, аффинная, конформная, дифференциальная и другие геометрии. В своем докладе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» Ф. Клейн выдвинул синтетическую идею, объединяющее начало, восстановив утраченное единство геометрии. Различные геометрические теории как бы собираются им в один фокус, а линзой послужило понятие группы, позволившее с единой точки зрения охватить весь геометрический калейдоскоп. И дело не только в формально-теоретическом объединении, это было принципиально новое понимание и обоснование различных геометрий.

За двадцать лет до этого английским математиком Дж. Дж. Сильвестром впервые были введены в науку понятие и термин «инвариант». В последующие годы теория инвариантов и ее применение к алгебраическим проблемам усиленно разрабатывались в Англии им самим и его другом А. Кэли, а во Франции — Ш. Эрмитом. В своих письмах Эрмит не раз шутливо называл себя и своих английских коллег «троицей инвариантов». Клейн положил понятие инварианта наряду с понятием группы в основу своих геометрических изысканий.

Кратко суть «Эрлангенской программы» заключается в том, что любая геометрия объявляется учением о свойствах фигур, инвариантных, то есть неизменных, при некоторых однотипных преобразованиях, совокупность которых образует группу. Каждому типу преобразований соответствует своя геометрия. Например, элементарная евклидова геометрия изучает свойства фигур, которые не зависят от их положения в пространстве. Две фигуры в этой геометрии считаются одинаковыми, если, двигая одну фигуру, можно точно совместить ее с другой. Группа преобразований, соответствующая евклидовой геометрии, составлена из различных движений, перемещений в пространстве. В проективной геометрии фигуры одинаковы, если можно одну из них спроектировать конусом световых лучей на другую так, что они полностью совпадут. Так совпадает с диском луны монета, которую мы держим в вытянутой руке. В этой геометрии любые треугольники считаются одинаковыми, так как всегда можно найти такой угол зрения, под которым эти треугольники точно совместятся. Точно так же одинаковыми принимаются любая окружность и любой эллипс. Множество всех мыслимых проекций, образованных расходящимся из точки пучком лучей, — такова группа проективной геометрии. Различные геометрии отличаются друг от друга тем, какие фигуры в них получаются одинаковыми, инвариантными, при дозволенных в этих геометриях преобразованиях. Геометрия становится теорией инвариантов некоторой группы преобразований.

Этим результатам Клейна потому уделено внимание в нашей книге, что инвариантно-групповой подход стал сквозной идеей в творчестве Пуанкаре, подведя его вплотную к приложению идей «Эрлангенской программы» в механике и физике. Не раз еще, рассматривая его труды, мы встретимся с этими терминами — группа и инвариант. Глубоко усвоив достоинства групповых методов и живо восприняв идею инвариантов, Пуанкаре одним из первых возвестил о новом теоретико-инвариантном подходе в точном естествознании.

Когда в 1880 году Феликс Клейн возглавил в Лейпциге университетскую кафедру геометрии, его внимание и внимание его учеников было приковано к функциям, инвариантным относительно некоторых общих преобразований переменной величины. Поэтому он не мог не заметить первых статей Пуанкаре по фуксовым функциям. Ознакомившись с ними, он сразу же осознает важность выдвигаемых там идей. Даже среди математиков Клейн был одним из немногих, кто по-настоящему глубоко мог проникнуть в работы молодого французского математика и дать им оценку, основанную на подлинном понимании. Ведь, как и Фукс, он со. своей школой занимается теми же проблемами, и понятие новой функции ему уже знакомо.