Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

Он старался определить при помощи гомологий размерность множества, ввёл понятие «по модулю два» и пытался доказать, что обычная размерность совпадает с гомологической размерностью по модулю два. Я сразу увидел, что размерность можно определить не только по модулю два, но и по любому другому модулю. Так что получается счётное число различных гомологических размерностей.

Доказательство того, что размерности эти различны, было моим достижением. Пользуясь этими соображениями, я построил ставший знаменитым пример двух компактных топологических множеств размерности два, топологическое произведение которых имеет размерность три.

Результат был опубликован в журнале «Comptes Rendus» [17] См. работу «Об одной фундаментальной гипотезе в теории размерности» в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. . Эта заметка попала в руки С. А. Лефшеца и оказалась противоречащим примером к уже построенной Лефшецом и публикуемой им теории гомологической разности. Ему пришлось срочно выкидывать из набора целую главу своей книги.

Лефшец сразу же заметил меня. Александров рассказал мне позже, что, когда после этого он встретил Лефшеца в Америке, тот спрашивал его обо мне, спрашивал, не еврей ли я, и был несколько разочарован, узнав, что я русский. Однако Лефшец отнёсся ко мне очень хорошо.

В начале 30-х годов Лефшец впервые приехал в Советский Союз, он почти сразу же пришёл ко мне с Л. Г. Шнирельманом. Я очень хорошо помню эту встречу. Она потрясла меня: такой выдающийся математик, как Лефшец, пришёл ко мне — аспиранту — домой. В этот его приезд в Москву мы много проводили вместе с ним времени, ходили по Москве, разговаривая о разных вещах, о математике, о политике, о многом другом.

Свою работу, в которой был дан пример двух двумерных множеств с трёхмерным топологическим произведением, я собирался подарить одной студентке, в которую был безответно влюблён. Помню, как я пришёл к Павлу Сергеевичу в профессорскую и рассказал ему о своём горе и своём замечательном достижении. Александров сразу же решительно запретил мне делать такой роскошный подарок студентке, которая, кстати, ему не нравилась! А моим научным достижением был так впечатлён, что сказал:

— Через десять лет Вас выберут академиком!

Его прогноз не оправдался. Через 10 лет меня выбрали не академиком, а только членкором, хотя был выдвинут, действительно, в академики. Что касается подарка, то я его всё же сделал. Но более скромный. Соответствующая работа, по настоянию Александрова, была опубликована как совместная [18] По-видимому, имеется в виду работа Pontriagin L., Tolstowa G. Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes. — Math. Ann., 1931, Bd. 105, H. 5, S. 734–745. .

Александров пытался дать гомологическую характеристику обычной размерности, но это была очень трудная задача. То же самое пытался сделать и я. Но я пытался сделать это несколько иначе, чем Александров. Именно, я пытался охарактеризовать размерность, помещая множество в евклидово пространство и стремясь доказать, что множество размерности r , лежащее в n -мерном евклидовом пространстве, хотя бы в одной точке составляет локальное препятствие для гомологии размерности r – n –1. Первоначально эту задачу решили мы совместно с Франклем для двумерных множеств в трёхмерном евклидовом пространстве, пользуясь одной теоремой об узлах [19] См. работу Pontriagin L., Frankl F. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. — Math. Ann., 1930, Bd. 102, H. 5, S. 785–789. . А затем Франкль решил её очень остроумно для множеств размерности n –1 в евклидовом пространстве размерности n . Именно, он доказал, что такое множество локально разбивает евклидово пространство. Однако решение общей задачи для r -мерного множества в n -мерном пространстве нам с Александровым очень долго не удавалось получить. Решил её не я, а П. С. Александров.

Я же, пойдя по ложному пути, пришёл к мысли, что решение идёт через гомотопическую классификацию отображений ( n + k )-мерной сферы на n -мерную, чем и занялся специально уже много позже. Проблема эта представляла сама по себе, конечно, самостоятельный интерес, и ею занимались многие. Случай k =0 был исследован Хопфом, случай k =1, n =2 был также решён Хопфом. Случай, когда k =1, а n — произвольно, решил я. Также я решил задачу для случая k =2, n — произвольно [20] К задаче о вычислении гомотопических групп сфер Л. С. Понтрягин неоднократно возвращался в период 1936–1955 гг. (См. библиографию работ Л. С. Понтрягина на с. 224–236 наст. издания). Созданная им теория оснащённых многообразий оказала большое влияние на развитие топологии. См., например, книгу «В поисках утраченной топологии» (М.: Мир, 1989). См. также книгу «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» (М.: Наука, 1985) и статью «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания). . Но для произвольного k задача оказалась чрезвычайно трудной. В попытках решить её я построил теорию характеристических циклов гладких многообразий уже перед самой войной [21] Первая работа по теории характеристических классов была опубликована в 1942 г. («Характеристические циклы многообразий», ДАН СССР, 1942, т. 35, № 2, с. 35–39.) Дальнейшие работы см. в библиографии работ Л. С. Понтрягина (с. 224–236 наст. издания). См. также «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания). О характеристических классах Понтрягина и их применениях в топологии см., например, книгу Дж. Милнора, Дж. Сташефа «Характеристические классы» (М.: Мир, 1979) и обзор С. П. Новикова «Топология» (в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 12. — М.: ВИНИТИ, 1986). .

Построенные мною характеристические циклы приобрели широкую известность и получили название классов Понтрягина. Они нашли многочисленные применения, но одну из важнейших проблем, связанных с ними, долгое время никому не удавалось решить. Именно: хотелось доказать, что классы Понтрягина являются инвариантами самого топологического, а не только дифференцируемого многообразия. Я эту задачу пытался решить, но не решил. Много позже её решил положительно, но частично, Сергей Петрович Новиков.

Оказалось, что для характеристических классов конечного порядка топологической инвариантности нет, а она имеет место лишь для характеристических классов по полю рациональных чисел. Всё это было доказано С. Новиковым.

Так из моих студенческих работ очень косвенным образом выросло новое направление, именно — теория гомотопий.

Третьим ответвлением от моих студенческих работ стало вариационное исчисление «в целом», которым занимались тогда Люстерник и Шнирельман. Они ввели важное для вариационного исчисления понятие «категория многообразия». Данное ими определение категории отрицательно. Это значит, что эффективно можно установить, что категория не больше некоторого числа k, но нет никакой возможности эффективно установить, что она не меньше числа k. Поэтому вычисление её очень трудно. Мои студенческие результаты дали возможность оценивать категорию многообразия снизу при помощи пересечений циклов многообразия [22] См. работу «Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности» (в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Haука, 1988) и её обсуждение в статье «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания). .