Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

Платон не любил Демокрита, скупал рукописи его сочинений и сжигал их.

Аристотель

Занимался математикой и Аристотель (384-322 до н.э.) В своей "Физике" Аристотель дал определения непрерывности и бесконечности и сформулировал принцип: "Непрерывная величина не может состоять из неделимых частей, например, линия из точек". Аристотель считал, что непрерывная величина может быть только "геометрическим местом" в котором находятся точки. В "Первой Аналитике" Аристотель разработал теорию силлогизмов, а "Во второй Аналитике"- теорию доказательств.

По мнению Аристотеля мир состоит из трех областей :

подлунного мира - от центра Земли до орбиты Луны, в котором действуют законы обычной физики,

надлунного мира - от орбиты Луны до сферы неподвижных звезд, в котором возможно движение только с постоянной скоростью и по идеальным линиям - прямым и окружнастям,

области за сферой неподвижных звезд, в которой живут боги.

Аристотель называл эти области областью физики, областью математики и областью божественной науки.

В обнаруженном мной в Баку математическом трактате Омара Хайяма приведены пять "принципов, заимствованных у Философа", 4 из которых являются известными утверждениями Аристотеля, откуда видно, что Философом Хайям называл Аристотеля. Тот из этих принципов, который отсутствует в известных нам сочинениях Аристотеля, гласит: "Две сходящиеся прямые линии пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения". Этот принцип, равносильный V постулату Евклида, по-видимому, был сформулирован Аристотелем в одном из его сочинений, которое не сохранилось.

" Во "Второй Аналитике" Аристотель указывал, что те, кто писал о параллельных линиях, совершали логическую ошибку "постулирование основания", т.е. неявно предполагали выполненным утверждение равносильное доказываемому. Отсюда ясно, что "принцип Философа" равносильный V постулату Евклида, был сформулирован Аристотелем в результате анализа того, что писали его предшественники о параллельных линиях. Утверждениям о параллельных линиях в других сочинениях Аристотеля посвящена статья Имре Тота "Теория параллельных у Аристотеля".

Во многих трудах Аристотеля цитируются недошедшие до нас сочинения Пифагора и Демокрита.

Евклид

Евклид (ок. 365 - ок.300 до н.э.) в своих "Началах" подвел итог античной элементарной геометрии и теории чисел. Когда Евклид закончил работу над этой книгой, он преподнес один экземпляр египетскому царю Птолемею I, в столице которого Александрии он работал. Царь перелистал книгу с непонятными для него чертежами и спросил Евклида: "Нет ли более короткого пути в науку, хотя бы для царя?". "Нет, - ответил Евклид, - нет царского пути в науку".

В Советском Союзе были очень популярны слова Маркса из его предисловия к французскому изданию "Капитала". Эти слова печатались на обложках тетрадей и были написаны на многих плакатах, висевших во всех школах и вузах : "К науке не ведет широкая столбовая дорога, и только тот может расчитывать достичь ее сияющих вершин, кто, не страшась трудов, карабкается по ее каменистым тропам". Перевод этот был сделан В.И.Лениным в одной из его статей. Во французском оригинале предисловия Маркса первые слова этого отрывка звучат так: "Il n'y a pas le roite royal pour la science", - "Нет царского пути в науку", т.е. Маркс процитировал слова Евклида. Ленин не знал этих слов Евклида и он перевел слова "царский путь" как "королевскую дорогу", которую он считал "широкой столбовой дорогой ".

Б.Л..Ван дер Варден доказал, что 13 книг "Начал" Евклида являются обработками сочинений греческих математиков IV века до н.э. На основе сочинений Гиппократа Хиосского составлены I книга об основах планиметрии, II книга о геометрической алгебре, III книга о кругах, IV книга о правильных многоугольниках и XI книга об основах стереометрии. На основе сочинений Евдокса составлены V книга о теории отношений геометрических величин, VI книга о подобии плоских фигур и XII книга о площадях и объемах.На основе сочинений пифагорейцев составлены VII-IX книги о теории чисел На основе сочинений Теэтета составлены X книга о квадратичных иррациональностях и XIII книга о правильних многогранниках.

Сочинение Гиппократа восходит к недошедшему до нас математическому сочинению Демокрита. Явно демокритовский характер носит I определение "Начал" - "Точка - то, что не имеет частей".

Однако в целом книга Евклида основана на математических принципах Аристотеля и содержит теорему о том, что любой отрезок может быть разделен пополам. По-видимому, восходит к принципу Аристотеля и V постулат Евклида.

"Оптика" Евклида была основана на представлении о зрительных лучах, выходящих из глаза и "ощупывающих" видимые предметы. Само слово "оптика" происходит от греческого слова opsis - "зрительный луч". Сравнивая "Оптику" и "Начала" Евклида я убедился, что "Оптика" основана не на учении Аристотеля, а на учении Демокрита.

Архимед

Величайшим ученым древности являлся Архимед (ок. 290-212 до н.э.) он был и математиком и механиком и физиком и инженером. Я рассматривал многие сочинения Архимеда. Если Евклид для круглых фигур и тел определял только отношения их площадей и объемов, Архимед нашел площадь круга, объем шара и объемы других круглых тел. Архимед также определил площадь сегмента параболы и решил ряд других задач, которые в настоящее время решаются с помощью интегрального и дифференциального исчислений. Я рассмотрел в книге Архимеда "Леммы" задачу об арбелоне, т.е. фигуре, полученной из полукруга с диаметром a+b удалением из него двух полукругов с диаметрами a и b, которые являются отрезками диаметра большего полукруга. Архимед нашел, что площадь арбелона равна площади круга, диаметром которого является перпендикуляр восставленный к диаметру большего полукруга в точке касания малых полукругов. Я доказал, что эта задача равносильна теореме геометрической алгебры о разбиении квадрата со стороной a+b на два квадрата с площадями a2 и b2 и два прямоугольника с площадями ab, так как площади полукругов равны, соответственно, n(a+b)2/8, na2/8 и nb2/8, a площадь круга равного арбелону равна nab/4. Во время осады римлянами Сиракуз, где жил Архимед, он был душей обороны города и его технические ухищрения наводили ужас на римлян. В частности, Архимед сжигал корабли римлян, выстраивая солдат с медными щитами таким образом, что их щиты образовывали часть поверхностьи параболоида вращения, ось которого была направлена на Солнце, а фокус был в том месте, где находился римский корабль. Недавно греческий инженер Иоаннис Сакас воспроизвел сожжение корабля по методу Архимеда. Сожжение римских кораблей показывает, что Архимеду были известны фокальные свойства параболы и параболоида вращения. На могиле Архимеда в Сиракузах был поставлен камень, на котором выгравировано изображение цилиндра с вписанными в него конусом и шаром. Этот чертеж относится к одному из самых замечательных математических достижений Архимеда - выводу формулы объема шара. В своем послании к Эратосфену Архимед рассматривал прямой круговой цилиндр, высота которого равна радиусу его основания. Обозначим диаметр шара буквой D. В цилиндр вписаны прямой круговой конус, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина - с центром А его верхнего основания, и шар, полюсы которого совпадают с центрами А и В верхнего и нижнего оснований цилиндра. Сечения этих трех тел плоскостью параллельной основаниям цилиндра на расстоянии х от точки А равны, соответственно, nD 2, nx 2и nx(D-x). Архимед рассматривал эти сечения как материальные пластинки, веса которых равны их площадям. Он заметил, что если перенести сечения конуса и шара в точку С оси цилиндра, находящуюся на расстоянии D выше точки А, а сечение цилиндра оставить на месте и рассматривать линию САВ как рычаг с точкой опоры А, то моменты сечений цилиндра, конуса и шара будут равны, соответственно, nD 2x, nDx 2и nD 2x-nDx 2. Поэтому перенесенные сечения конуса и шара будут уравновешивать сечение цилиндра. Архимед считал, что если равновесие имеет место для весов отдельных сечений, оно будет иметь место и для сумм этих весов. Суммой весов сечений тела Архимед считал вес всего этого тела, т.е. его объем. Если мы обозначим объемы цилиндра, конуса и шара, соответственно, V ц, V k, и V ш, то сумма моментов перенесенных сечений равна V кD+V шD, a сумма моментов сечений цилиндра равна произведению его объема на расстояние от точки А до его центра тяжести, т.е. VuD/2. Taк как V,<=V4/3, мы получаем, что v^vu/2-v4/3=vu/6 или, так как Vц=nD3, Vш=nD3/6. Если обозначить D =2R, мы можем переписать последнюю формулу в виде Vш = (4/3)nR3. Рассуждения Архимеда напоминают рассуждения Демокрита, но сечения тел у Архимеда не имеют конечной толщины, как у Демокрита, и между ними нет конечных расстояний, как у Пифагора. Поэтому у Архимеда сечения, из которых состоят тела больше похожи не на атомы античных атомистов, а на элементы множеств современной теоретико-множественной математики.