Сборник статей - Чего не знает современная наука

В прошлом номере журнала мы рассказывали о процессах развития Вселенной – и здесь бросается в глаза повторяемость этапов развития. Сначала из единой точки рождается множество форм – фундаментальные частицы, ядра простейших элементов. Затем, после концентрации этой первоматерии, происходит следующий этап, в чем-то подобный первому: из простейших протонов и альфа-частиц рождается множество более тяжелых ядер. По тому же сценарию идет образование планет – от однородного, единого к множеству разных форм: от атомов («точек», размерность которых равна 0) через линейные молекулы (1) к плоским (2) и объемным структурам (3). Так же – от «единиц», через «двойки» к «тройкам» – формируется нервная система в процессе эволюции живых организмов. Не является ли это частным проявлением общего принципа, которые древние мудрецы отразили в своих философских концепциях, говоря о развитии от Единого к множественности через двоичность и троичность?

В современной физике скейлинг, или масштабная инвариантность, понимаемая как неизменность формулировки физической теории при одновременном изменении всех расстояний и временных промежутков в одинаковое число раз, рассматривается как фундаментальное свойство природы. Этим свойством обладают такие, например, соотношения, как уравнения Максвелла, которым удовлетворяют все электродинамические процессы макромира, уравнения Клейна-Гордона и Дирака, описывающие явления микромира. Стало быть, Вселенная – не только пространственный, но и пространственно-временной фрактал!

После всех этих примеров читателя, наверное, не удивит то, что в современной науке фрактальность поведения сложных нелинейных систем считается их неотъемлемым свойством как строго доказанный математический факт! Оказывается, что если система достаточно сложна, то она в своем развитии обязательно проходит через чередующиеся этапы устойчивого и хаотического развития. Причем сценарии перехода от порядка к хаосу и обратно поддаются классификации, и вновь все многообразие природных процессов распадается на небольшое число качественно подобных. Один из таких сценариев может быть описан с помощью наглядного геометрического образа, рисунка, являющегося фракталом, полностью самоподобным объектом. Речь идет о так называемом логистическом отображении, впервые использованном П. Ферхюльстом в 1845 году как модель роста числа особей в популяции животных; согласно этой модели, общее число x(n) особей n -ного поколения пропорционально числу x(n–1) особей предыдущего поколения с коэффициентом пропорциональности, линейно убывающим в зависимости от этого числа особей. Подобной динамикой обладает и изменение банковского вклада по закону «сложного процента», когда начисление линейно зависит от самого вклада. Более того, оказалось, что свойства логистического отображения универсальны, они характерны для динамики любой системы, поведение которой описывается гладкой функцией вблизи точки ее минимума.

Развитие систем, описываемых логистическим отображением, очень напоминает античные натурфилософские и мифологические сценарии рождения мира. Сначала, при некотором значении коэффициента пропорциональности, в системе имеется лишь одно устойчивое положение равновесия – Единое еще не начало свой путь творения. При изменении коэффициента наступает момент, когда точка равновесия раздваивается, возникают два устойчивых состояния, в которых система пребывает по очереди, то в одном, то в другом, шаг за шагом по времени. Потом каждая из этих точек вновь раздваивается, и ситуация повторяется, сохраняя общий рисунок. Рано или поздно множество точек равновесия плотно заполняет все множество состояний, система переходит к хаосу, полностью разрушая свою структуру. Но затем, при дальнейшем росте параметра, из хаоса вновь возникает некоторое конечное число упорядоченных состояний, которые в конце концов «схлопываются» в единственное, и все начинается сначала. В математической модели этого явления обнаружено множество подобных, скейлинговых элементов; эти свойства подобия в науке носят название универсальности Фейгенбаума.

Представления о схожести, фрактальности процессов развития закреплены и в мифах. Согласно древнегреческой мифологической традиции, мир рождается по этапам, в развитии которых видны подобные черты. Несколько поколений богов сменяют друг друга, на каждом этапе выстраивая свой Космос, упорядоченную Вселенную, по подобным принципам. Так, например, принцип Любви – Эрос – мыслится и одним из четырех космогонических первоначал (наряду с Хаосом, Геей и Тартаром), и сыном Эреба и Ночи, происшедших от Хаоса, и сыном Афродиты; это можно истолковать как указание на то, что связующий принцип, влекущий противоположности друг к другу, работает на каждом этапе творения.

Во всех мифах, повествующих о происхождении Вселенной, единое божество наполняет мир своими помощниками – подчиненными богами, каждый из которых является проводником фундаментальных принципов мирового устройства; своими последователями – вестниками, ангелами, посланниками-апостолами; наконец, людьми, сотворенными «по образу и подобию божьему». Каждое творение имеет свою задачу по продолжению процесса созидания, по воплощению воли божьей, приводящей к устройству мира по законам Единого и проявляющейся в «похожести» всех процессов и явлений, в их самоподобии.

Из сказанного вовсе не следует, что все усилия современной науки, и математики в частности, – лишь повторение древних религиозных или философских концепций. Но если интересоваться не только технологией, не только способами расчета тех или иных конструкций, механизмов или машин, а общими принципами, лежащими в основе рождения и развития, то можно заметить, что во все времена люди мыслили сходно, лишь результаты их размышлений облекались в разные формы: в древности – в мифы, числовые и геометрические математические модели, в наше время – в более развитые математические объекты и построения; и понимаемые не буквально, но символически сказочные и мифические сюжеты древности и сейчас, спустя тысячелетия, по-прежнему могут служить источником вдохновения для исследователей, ищущих истину.

Если посмотреть на наш мир в целом, от момента его рождения и до наших дней, возникает величественный образ Вселенной как гигантского пространственно-временного фрактала, возникшего в точке Большого взрыва и выросшего к настоящему времени, подобно мифическому мировому древу, до необъятных размеров; фрактала, несущего в своей структуре единый, но пока еще не уловленный нами Закон развития природы.