Журнал Наука и жизнь, 2000 № 01

И вот уже совсем недавно с помощью вирусного анализа получены новые убедительные доказательства того, что аборигены Северной Америки — действительно далекие потомки азиатов (см. «Наука и жизнь» № 10, 1999 г.).

Около 10 тысяч лет назад, на рубеже голоцена, сухопутный путь из Азии в Америку был окончательно закрыт. Вероятно, в то же или несколько более позднее время водами океана был покрыт обширный восточносибирский шельф. Береговая линия приняла очертания, близкие к современным.

Возродится ли когда-нибудь Берингия снова? Конечно, непременно возродится… Но когда, через сколько тысяч или десятков тысяч лет это произойдет, пока не знает никто.

ЛИТЕРАТУРА

Кондратов А. Была страна Берингия. — Магадан, 1981.

Котляков В.М. Мир снега и льда. — М.: Наука, 1994.

Хопкинс Д.М. История уровня моря в Беринги и за последние 250000 лет. Берингия в кайнозое. — Владивосток, 1976.

Перед вами таблица, в которой приведены кое-какие результаты нескольких игр однокругового турнира четырех футбольных команд. Ни в одной игре больше семи мячей команды не забивали.

Определите, с каким счетом заканчивались встречи, состоявшиеся на турнире.

Вот как четыре пары молодых людей провели воскресный вечер:

1. Андрей был на концерте.

2. Борис провел весь вечер с Ольгой.

3. Володя так и не повидался с Розой.

4. Полина смотрела новый фильм в кинотеатре.

5. Роза побывала на спектакле в драмтеатре.

6. Одна из пар посетила художественную выставку.

Где были Дима и Ирина, мы забыли, но известно, что и в театр, и в другие места каждый юноша ходил не один, а с девушкой.

Кто с кем был и куда ходил?

Фигурная планка ( 1) с прорезью, пластиковое колечко ( 4), шнур ( 5) и шарики ( 2) с ограничителями ( 3) — это все, что нужно для того, чтобы у вас в руках оказалась замечательная игрушка — шнурковая головоломка.

Над решением ее предлагает помучиться А.В. Костюков из Пскова. Головоломку в качестве обменного экземпляра он привез с собой на традиционный ежегодный сбор членов Клуба ценителей головоломок «Диоген».

Размеры детали 1показаны на рисунке. Деталь 3(ограничитель) — пластинки 25х25 с отверстием в центре для шнура. Детали 1и 3выпиливаются лобзиком из фанеры толщиной 1,5–2 мм. Шарики 2могут быть и не самодельными, главное, чтобы они прошли через колечко. Длина шнура 300 мм.

Заодно напомним вам шнурковую головоломку Бернарда Везорке (см. «Наука и жизнь» № 12, 1996 г.); ее тоже несложно сделать самим. В этой головоломке надо поменять местами (соединить или разъединить) полушария. Ответа мы также не давали.

Присылайте решения.

Уважаемые читателирубрик «Психологический практикум» и «Математические досуги»! Присылая новые задания и ответы на задачи, публикуемые в журнале, вы становитесь участниками постоянного конкурса решения задач.

Не выбрасывайте головоломки, сделанные вами по описанию в журнале, не прячьте далеко купленные вами кубик Рубика, змейку, проволочные головоломки, пентамино, домино, пасьянсные карты.

Как и в прошлые годы, по крайней мере 30 наиболее активных читателей рубрик «Математические досуги» и «Психологический практикум», приславших правильные решения, мы будем иметь возможность отметить премиями. В качестве премий — бесплатная подписка на журнал «Наука и жизнь» на второе полугодие 2000 года и на 2001 год, книги по занимательной математике и научным развлечениям.

По итогам конкурса 1999 года подписку на первую половину 2000 года получили:

Д. Т. Бутенок и его внук Петя (г. Москва), А. Герман (г. Луганск), В. И. и Е. В. Жуковы (г. Москва), А. Б. Канавщиков (г. Великие Луки), Ю. В. Попов (г. Воронеж), В. Кабанович (г. Зеленоград), Г. Ярковой (г. Тольятти), И. Д. Дейко (г. Клецк).

Друзья знаменитого физика, нобелевского лауреата Льва Давидовича Ландау (1908–1968) вспоминают, что, путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам игру в номера автомашин, которую сам и придумал (см. статью М. И. Каганова и 3. И. Горобец-Лифшиц в книге «Воспоминания о Л. Д. Ландау», Москва, 1988). В то время номера машин состояли из двух букв и еще двух пар цифр. Нужно было найти математические действия, которые позволили бы приравнять обе пары цифр. Для этого нужно подобрать и вставить в каждую пару цифр подходящие знаки действий и символы элементарных функций: +, —, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, факториал (напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1∙2∙3∙…∙n = n!). Между обеими парами цифр необходимо вставить знак равенства.

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: 7√1 = 1 5. Это очень легкий пример. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: — (5–3!) =√4–1.

Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log √33. Обратите внимание, здесь применен способ получить 2 с помощью логарифма; этот прием можно использовать для любой пары одинаковых цифр начиная с 22.

Конечно, сегодняшний школьник может предложить продифференцировать числа в номере, стоящие по обе стороны черточки: производная от постоянной величины равна нулю. Однако это запрещено правилами игры Ландау: дифференцирование — действие из высшей математики. К тому же такой тривиальный способ решения лишил бы игру всякого интереса.

Навык находить равенства приобретается довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно «решить»? Такой вопрос и задал М. И. Каганов академику Ландау. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему несуществования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75–65».

Далее М. И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой харьковских физиков и математиков. Один из математиков (имя которого, к сожалению, не сообщается) отнесся к игре серьезно. Он вывел формулу универсального решения задачи: √(N + 1) = secarctg√N. Суть формулы: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства.

Для вывода этой формулы необходимо знать, что 1) tg arctg х = х; 2) 1/cos 2х = tg 2x + 1. Проделаем следующие тождественные преобразования: N + 1= (√N) 2+ 1 = tg 2arctg√N + 1 = 1/cos 2arctg√N = sec 2arctg√N. Извлекая корень из N + 1 слева и из секанса в квадрате справа, получаем окончательную формулу.