Владимир Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её, математики, абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, изучение которых находится на передовом крае науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считали, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли сама эта мысль была бы возможна, не обладай человеческое сознание уже готовым представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто не знал учёной терминологии и потому не пользовался термином «евклидово пространство» (вспомним мольеровского Журдена, не знавшего, что говорит прозой). И действительно, а как же может быть иначе? Первые сомнения возникли в XIX веке независимо в Германии у Гаусса и в России у Лобачевского. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы коснёмся этой темы в главе 8). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила указанную неевклидовость, предсказав прогибание пространства под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым искривлением луча света вблизи таких тел. Некоторые свойства пространства и времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять эти свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены такие структуры, которые обладают требуемыми свойствами.

Здесь мы прикоснулись к важной философской, а именно гносеологической, теме. Только что упомянутое представление о шаре, столь необходимое для осознания фигуры Земли, находило поддержку в повседневном опыте — а именно в наблюдении шарообразных предметов, как природных (яблок, тыкв, ягод, катимых скарабеями навозных шариков и т. п.), так и искусственных (например, пушечных ядер). И когда потребовалось узнать фигуру Земли, оставалось лишь воспользоваться названным представлением. Иначе обстоит дело с попытками познания строения Вселенной. Повседневный опыт не даёт требуемых геометрических форм. Оказалось, однако, что хотя такими формами и не обладают предметы, доступные непосредственному созерцанию, эти формы представлены в уже обнаруженных структурах математики. Поскольку эти математические структуры точно описаны, нетрудно, при желании, понять, как в них реализуются свойства мироздания — даже те, которые кажутся парадоксальными. А тогда остаётся допустить, что геометрия реального мира хотя бы отчасти выглядит так, как геометрия этих структур. Таким образом, математика, не давая ответ на вопрос, как оно есть в реальном мире, помогает понять, как оно может быть — что не менее важно: ведь как оно есть мы вряд ли когда-нибудь узнаем до конца. (В главе 9 мы вернёмся к этой теме.) И эту помощь, которую оказывает математика в познании мира, также следует вписать в перечень её приложений.

Как говорил один из самых крупных математиков XX века Джон фон Нейман (1903–1957): «В конечном счёте, современная математика находит применение. А ведь заранее не ясно, что так должно быть».

Нередко утверждают, что математику следует рассматривать как часть физики, поскольку она описывает внешний физический мир. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления и тем самым должны проходить по ведомству психологии. Взять, например, такое основное (и, может быть, самое главное) понятие математики, как понятие натурального числа, то есть числа, являющегося одновременно и целым, и положительным (иногда к натуральным числам причисляют ещё и число ноль, к чему есть серьёзные основания!). Ведь показать, скажем, число пять невозможно, можно только предъявить пять пальцев или пять иных предметов. Уже здесь не такая уж малая степень абстракции. Ещё более высокая степень абстракции в числе пять септиллионов: ясно, что предъявить столько предметов невозможно. И уж совсем высокая (и одновременно глубокая) абстракция заключена в понятии натурального числа вообще и натурального ряда как совокупности всех натуральных чисел. Здесь поле, только начатое распахиваться психологией. Упоминавшийся уже Лузин, который был не только математиком, но и философом (и даже его избрание в 1929 году в Академию наук СССР произошло «по кафедре философии»), так высказывался на эту тему: «По-видимому, натуральный ряд чисел не представляет из себя абсолютно объективного образования. По-видимому, он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде».

Тем не менее два математика на разных континентах приходят к одним и тем же выводам о свойствах натурального ряда чисел, хотя никто из них не может наблюдать числа внешним зрением, а лишь зрением внутренним — внутри собственной мысли. В этом труднообъяснимом единстве взглядов на идеальные сущности некоторые усматривают доказательство существования Бога.

Итак, мы отстаиваем два тезиса. Первый, что математика — вне зависимости от её практического использования — принадлежит духовной культуре. Второй, что отдельные фрагменты математики входят в общеобязательную часть этой культуры.

Что же касается вопроса, чт о именно из математики, причем из математики неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, то однозначный ответ на этот вопрос вряд ли уместен. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества — предоставить своему члену ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, откуда этот субъективный минимум можно было бы выбирать. Вообще, знание есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание, принадлежащее Сухарто (второму президенту Индонезии — не путать с первым её президентом, Сукарно): «В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно». Иногда, тем не менее, в дальнейшем изложении будут встречаться рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; эти рекомендации не предлагаются как нечто категорическое и даются лишь в качестве возможных примеров и материала для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике — слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя эта тема не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь мнением, что хорошо бы в этой программе устранить перекос в вычислительную сторону математики и уделить больше внимания стороне качественной, не связанной непосредственно с вычислениями.