Владимир Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Замечу в заключение, что математика входит в мировую культуру и своим этическим аспектом. Наличие такового у математики может показаться странным. Он, однако, есть. Математика не допускает лжи. Она требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но и доказывались. Она учит задавать вопросы и не бояться непонимания ответов. Она по природе демократична: её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает, академик или школьник. Приведу такой пример. Некий третьекурсник механико-математического факультета МГУ осмелился опровергнуть одно из утверждений лектора, лектором же был не кто иной, как сам Колмогоров. После чего третьекурсник был немедленно приглашён Колмогоровым посетить его дачу, где и был произведён в ученики.

Данный текст писался не для математиков, а скорее для гуманитариев. Поэтому при его составлении в ряде случаев приходилось выбирать между понятностью и точностью. Предпочтение отдавалось понятности. (Достигнуть абсолютной точности всё равно невозможно. Невозможно, впрочем, достигнуть и абсолютной понятности — как и вообще чего-либо абсолютного.) За неточность прошу прощения у математиков, а всякому, любезно указавшему на непонятное место, приношу искреннюю благодарность.

В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор» математических представлений знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 назывется египетским . А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения прямого угла. Вот требуемый способ. Верёвка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы веревки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними натягивателями составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 — гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым. Боюсь, что большинство читателей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей. Здесь же используется теорема, обратная к теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то в этом случае треугольник прямоугольный. (Не уверен, что эта обратная теорема занимает должное место в школьной программе.)

Кажущееся противоречие, упомянутое в начале абзаца, заключается в том, что, обещав говорить о неутилитарном аспекте математики, мы сразу же перешли к её практическому применению. Оно потому названо кажущимся, что описанное применение обратной теоремы Пифагора принадлежит далёкому прошлому. Сейчас едва ли кто-либо строит прямой угол указанным способом: этот способ переместился из мира практики в мир идей — как и вообще многие воспоминания о материальной культуре прошлого вошли в духовную культуру настоящего.

Изложенная только что тема содержит в себе три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3 2+ 4 2= 5 2. В каждой из этих подтем можно усмотреть некие элементы, относящиеся к тому, чт о автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Приведём примеры таких элементов.

Сперва о понятии прямого угла. Это понятие может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но объяснить не на визуальных примерах, а вербально — например, по телефону. Вот решение. Надо попросить собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если все эти углы окажутся равными друг другу, то каждый из них и называют прямым. Какая же тут духовная культура, если речь идёт о жердях! — возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще представляет собою удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть ощущение, что любопытный скиф его поймёт.

Теперь — пример из жизни треугольников. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция — это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различной формы; при этом существенно, что примыкание происходит целыми сторонами, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний — как по суше, так и по морю — появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II веке до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III веке до н. э., другой знаменитый древний грек, заведующий Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Дело в том, что Эратосфен считал эти два египетских города лежащими на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот Солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он, далее, путём изящных геометрических рассуждений, вычислил длину всего меридиана, а тем самым и величину радиуса земного шара.

Ещё в XVI веке расстояние (примерно стокилометровое) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Очевидна приблизительность результатов подобных измерений. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в течение 1615–1617 годов измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер в один градус и одиннадцать с половиной минут.