Владимир Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё же истинна — аксиома Евклида или аксиома Лобачевского. Давайте разберёмся. Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит «истинна». Казалось бы, ясно: истинна — значит, соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, — одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых — как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч — в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или подшипник. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком — все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, то есть то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да даже и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая отшлифованная поверхность лишь приближается к идеальной форме, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света — и тот искривляется в реальном пространстве. Для возникновения же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно — требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, является отражением реального мира).

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», — писал в 1835 году Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем написать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на это вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что когда мы говорим о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180 градусов тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому чем больше треугольник, тем больше надежды заметить это отличие — и тем самым подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (упомянутый выше Швейкарт употреблял для геометрии, впоследствии предложенной Лобачевским, название звёздная геометрия) . Такими измерениями занимался сам Лобачевский («И он вгляделся пристальней в безоблачную высь…»), но точность измерительных приборов оказалась недостаточной, чтобы уловить отклонение суммы углов треугольника от суммы двух прямых углов, даже если таковое отклонение и существует.

Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для б о льших другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли — именно потому, что участок, план которого снимается, небольшой. Поэтому для сравнительно небольших участков разумно исходить из того, что Земля плоская — именно поэтому это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России необходимо учитывать шарообразность Земли, а при тонких расчётах — то, что Земля есть эллипсоид (а точнее — геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам: к положению стрелка и к цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично, евклидова геометрия хорошо работает «в малом», то есть в доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит «в очень большом». В рассказе Уэллса «История Платтнера» его герой Готфрид Платтнер претерпевает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в следующей главе нашего очерка.

Но что же представляют из себя идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и тому подобные, — отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

Ни что такое куздры, ни что такое бокры, ни что такое будлать — всё это оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для получения из этих утверждений определённых заключений — то есть таких утверждений, которые непременно являются истинными при условии истинности всех утверждений нашего исходного квартета. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры .