Новый Мир Новый Мир - Новый Мир ( № 12 2007)

Пример из первобытной жизни приводит нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств . Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом элементы первого множества и элементы второго множества, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Наши скотоводы как раз и установили эквивалентность своих стад. А синьор Сальвиати установил эквивалентность множества всех квадратов и множества всех чисел; эту эквивалентность можно наглядно показать посредством следующей таблицы:

1

1 4

2 9

3 16

4 25

5 36

6 49

7 64

8 81

9 100

10 121

11 144

12 169

13 196

14 225

15 256...

16...

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являюшихся, — ну, скажем, 7, 23 и 111. Следующая таблица показывает эквивалентность множества квадратов и расширенного множества, состоящего из всех квадратов и трёх указанных не-квадратов:

1

7 4

23 9

111 16

1 25

4 36

9 16

7 64

25 &nbsp81

36 100

49 121

64 144

81 169

100 196

121 225

144 256...

169...

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и, в качестве несложного упражнения, убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными.

Но не окажутся ли все вообще бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, так что множества первого рода эквивалентны друг другу и множества второго рода эквивалентны друг другу, а множества разных родов друг другу не эквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленого набора, заявленного в игре предыдущей главы. Множества второй категории называются континуальными; таковы множество всех точек прямой, всех точек плоскости, всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Бывают и такие бесконечные множества, которые не являются ни счётными, ни континуальными, но в “математическом быту” такие множества почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа, помимо натуральных, — те, о которых говорилось в главе 4 “Длины и числа”. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно — бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, то есть счётным. С другой стороны, как известно из средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом, своей координатой; тем самым обнаруживается, что множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как было сообщено в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными . Таким образом, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть получен из совершенно общих рассуждений.

И ещё об одном виде чисел — о так называемых алгебраических числах . Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале “от простого к сложному”. Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют “трансцендентными”. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чисел e и π . Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.

Понятие эквивалентности служит основой для возникновения понятия количества элементов множества. Количество — это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждой коллекции эквивалентных друг другу множеств это количество своё — одно и то же для всех множеств этой коллекции. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество федеральных округов России. Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ “по”, присутствующих, согласно учению китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в “Притчах Соломона”. И множество невест ефрейтора Збруева. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть не только перечисленные только что множества, но и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, то обнаружим, что в них присутствует некая общность. Эта общность есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае это количество называется, как всем известно, так: семь . А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется так: восемь .