Новый Мир Новый Мир - Новый Мир ( № 11 2007)

Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, имеющий в своей этимологии географическое название. Таким названием служит слово «Хорезм». Великий учёный Мухаммед бен Муса аль-Хорезмби жил в конце VIII — первой половине IX века. Арабское имя «аль-Хорезми» буквально означает ‘из Хорезма’. Аль-Хорезми предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. При этом начиная с XII века его имя транслитерировалось как «Algoritmi». Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 году в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.

Понятие алгоритма — одно из центральных в математике. Программа для компьютера есть не что иное, как запись какого-то алгоритма на компьютерном языке. Прорыв в осознании этого важнейшего понятия произошёл в 1936 году, когда независимо друг от друга Алонзо Чёрч в Америке и Алан Тьюринг в Англии предложили математические уточнения понятия алгоритма (каждый своё) и на основе этих уточнений предъявили первые примеры массовых проблем, неразрешимых алгоритмически, в числе которых оказалась и очень знаменитая, стоявшая с 1915 года так называемая «das Entscheidungsproblem» («проблема разрешения»), считавшаяся главной проблемой математической логики. Поясним, что термины «проблема» и «задача» для нас синонимы и что массовая проблема считается алгоритмически неразрешимой, если не существует решающего её алгоритма, то есть такого единого алгоритма, который позволял бы находить решение для каждой из тех единичных проблем, которые и составляют рассматриваемую массовую проблему.

Алгоритмически неразрешимые проблемы, указанные Чёрчем и Тьюрингом, слишком сложны, чтобы их здесь формулировать. Сейчас мы приведём достаточно простой пример такой проблемы. Разумеется, мы вынуждены огра­ничиться её формулировкой и не приводить ни доказательства, ни даже намёка на доказательство её неразрешимости. Пример этот покажет, что массовые проблемы, для которых отсутствует требуемый алгоритм, лежат совсем близко к нашей повседневной жизни.

В целях большей наглядности изложим наш пример в терминах некоей игры. Любезный читатель согласится, что такая игра вполне мыслима в нашу эпоху пиара, рекламных акций, казино и игровых автоматов.

Средствами игры будут служить пластинки, наподобие тех доминошек, что используются при игре в домино. Как и в домино, каждая пластинка разделена на верхнюю и нижнюю половину. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино в том, чтбо именно написано. В случае домино в каждой из половин записывается количество очков, от 0 до 6. А нашем случае в каждой из половин записывается какая-то цепочка из букв икс и зет. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: x , z . Цепочки длины два: xx , xz , zx , zz . Цепочки длины три: xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: zxzxxxz . Проиллюстрируем сказанное примерами возможных пластинок:

Перечисленные 4 пластинки, в том порядке, как они указаны, обозначим — для дальнейших ссылок — буквами A, B, C, D . Если приложить одну пластинку к другой, но не торцами, как при игре в домино, а боками, то в результате получим две строчки букв: одну сверху, другую снизу. Так, прикладывая A к D (слева D , справа A ), получаем zzzx сверху и zzx снизу. Если приложить в другом порядке, получим xzzz сверху, zxz снизу. Аналогично можно прикладывать друг к другу несколько пластинок и считывать верхнюю и нижнюю строчки букв. Более того. Каждую пластинку разрешается воспроизводить в неограниченном количестве и создавать сочетания из повторяющихся пластинок — такие, например, как AACA . В этом примере верхней строчкой будет xxxzx , а нижней — zxzxzzzx . Прошу у читателя прощение за затянувшееся предварение к игре, но хотелось бы, чтобы всё было предельно ясно.

Теперь — сама игра. Она состоит в следующем. В средствах массовой информации объявляется некоторый конкретный набор пластинок. Далее предлагается, воспроизводя каждую из пластинок набора в необходимом количестве, приложить пластинки друг к другу так, чтобы верхняя и нижняя строчки иксов и зетов совпали друг с другом. Первым пяти, приславшим решения, будет выплачен внушительный приз.

Поясним сказанное на примерах. Пусть объявленный набор содержит всего только одну пластинку A из приведённого выше перечня. Ясно, что решение невозможно, поскольку, сколько раз ни прикладывай пластинку A саму к себе, нижняя строка всегда окажется длиннее верхней. По сходной причине решения не существует, если объявленный набор состоит из одной только пластинки D , только тут длиннее будет верхняя строка. Желающие могут попытаться доказать, что решения не существует и в том случае, когда объявленный набор состоит из двух пластинок, A и D . А вот если объявить набор из всех наших четырёх пластинок A , D , C и D , то решение существует. Действительно, если сложить пластинки в таком порядке: DBCDA , то и верх­няя, и нижняя строка окажутся одинаковы: zzzxxzzzzx .

Итак, набор объявлен. Все хотят получить приз. Но прежде, чем пытаться найти такое расположение пластинок, при котором верхняя и нижняя строки окажутся одинаковыми, желательно узнать, возможно ли такое расположение в принципе. Ведь если оно невозможно, то бесперспективно его искать, это будет пустой потерей времени. Так вот, оказывается, что не существует никакого эффективного способа это узнавать. Не существует (именно не существует, а не просто неизвестен) такого алгоритма, который позволял бы для любого объявленного набора пластинок узнать, имеется ли реше­ние, то есть возможно или невозможно сложить пластинки требуемым образом. Для каждого отдельно взятого набора пластинок задача узнать, к какой из двух категорий этот набор относится — к той, для которой решения имеются, или же к той, для которой решений нет, — она, эта задача, есть сугубо творческая задача, своя для каждого такого набора, а общий метод получения ответа для всех таких задач отсутствует.