БСЭ - Большая Советская энциклопедия (Но)

х = j 1( u ), у = j 2( n ).

Простейшими функциональными сетками являются логарифмическая и полулогарифмическая бумага (см. Логарифмическая бумага ). Существуют также: сетка, на которой отрезками прямых изображаются части синусоиды; сетка для изображения нормального закона распределения вероятностей прямой линией (см. Вероятностная бумага ) и т. п. Функциональные сетки применяются и при построении сетчатых номограмм, когда линии третьего семейства — кривые, но выглядят на сетке проще или нагляднее, чем в декартовой системе координат.

Транспарантная номограмма в простейшем случае состоит из двух плоскостей — основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных в виде шкал, бинарных полей или семейств помеченных линий; основная плоскость и транспарант могут также содержать непомеченные («немые») линии и точки. Номограмма построена так, что элементы, помеченные значениями, удовлетворяющими уравнению, а также «немые» элементы номограммы при наложении транспаранта на основную плоскость должны в определённой последовательности вступать в контакты. Контактом двух элементов называется принадлежность их одного другому (точка лежит на линии, прямая касается линии и т. д.). Для практического осуществления необходимых контактов в нужных случаях транспарант делают из прозрачного материала.

На рис. 5 показана транспарантная номограмма для вычисления температуры t смеси двух жидкостей с одинаковой теплоёмкостью по формуле:

где m 1— масса с температурой t 1, m 2—масса с температурой t 2. Номограмма состоит из семейства параллельных прямых на основной плоскости номограммы и шкалы на транспаранте, оформленном в виде линейки. Прямые имеют пометки m 1— влево от средней прямой с пометкой 0 (на рис. 5 она выделена), и пометки m 2— вправо от средней прямой. Шкала транспаранта является одновременно шкалой переменных t 1, t 2и t . Для вычисления по номограмме накладывают транспарант на основную плоскость так, чтобы точки, соответствующие данным m 1и m 2, оказались на прямых, соответствующих данным t 2и t 1, т. е. здесь осуществляется контакт между точкой t 2и прямой m 1и между точкой t 1и прямой t 2. Ответом будет пометка точки пересечения шкалы t с прямой, имеющей пометку 0. В данном случае эта прямая играет роль «немого» элемента номограммы, вступающего в контакт с точкой ответной шкалы. На рис. 5 решен пример, когда m 1= 8 кг, t 1= 52°, m 2= 10 кг, t 2= 16°; ответ: t = 32°.

Примером транспарантной номограммы, транспарант которой имеет лишь поступат. движение, является логарифмическая линейка.

Составные номограммы. Для уравнений со многими переменными применяют составные номограммы, представляющие систему отд. номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий. Обычно элементами составных номограмм являются номограммы из выравненных точек и сетчатые номограммы.

Погрешности вычислений по номограммам. Выполнение вычислений по номограммам сопровождается погрешностями, которые являются следствием невозможности (в процессе вычисления) точного осуществления необходимого соответствия между элементами номограммы.

Точность вычисления по номограммам существенно зависит от аккуратности выполнения необходимых операций. При вычислении по номограммам из выравненных точек следует применять прозрачную линейку с продольной визирной чертой.

Возможность представления уравнений номограммами. Номограммы разделяются на точные и приближённые.

Номограмма данной функциональной зависимости называется точной, если обусловленное её типом соответствие между изображениями переменных (в предположении точного осуществления) устанавливает между переменными зависимость, совпадающую с данной.

Условия точного номографирования налагают определённые ограничения на вид уравнений, для которых можно построить номограммы.

Условия, которым должно удовлетворять уравнение, для того чтобы можно было построить его номограмму, называются условиями номографируемости. При построении номограмм номографируемое уравнение преобразуется в одну из т. н. канонических форм, для которых известны в общем виде уравнения шкал, полей, семейств линий соответствующей номограммы.

При построении составных номограмм дополнительно необходимо представление данного уравнения со многими переменными в виде системы уравнений с меньшим числом переменных — т. н. разделение переменных (это достигается введением вспомогательных параметров).

Номограмма данной функциональной зависимости называется приближённой, если обусловленное типом номограммы соответствие между её элементами (в предположении точного его осуществления) устанавливает между переменными зависимость, приближённо представляющую данную. Создан ряд способов построения приближённых номограмм в основном типа из выравненных точек.

На рис. 6 изображена приближённая номограмма интегрального закона Стьюдента распределения вероятностей:

Погрешность в определении t за счёт приближённого номографирования в данной области изменения переменных а, k и t не превышает ± 0,001.

Приближённые номограммы применяют тогда, когда точные номограммы невозможны или когда точные номограммы имеют неудачную форму и дают б ольшую погрешность в ответе.

Историческая справка. Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения переменных (встречающиеся, например, в солнечных часах и астролябиях ). Разработка теории номографических построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (французский математик Л. Л. К. Лаланн, 1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань в 1884—91; в его же работах впервые встречается название «Н.». Первым в России вопросами Н. начал заниматься Н. М. Герсеванов в 1906—08. Большая заслуга в деле развития теории Н. и организации номографирования инженерных расчётов принадлежит Н. А. Глаголеву, возглавлявшему советскую номографическую школу.

Лит.: Пентковский М. В., Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М., 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949; Герсеванов Н. М., Основы номографии, 2 изд., М. — Л., 1932; Глаголев Н. А., Теоретические основы номографии, 2 изд., М. — Л., 1936; его же. Курс номографии, 2 изд., М., 1961; Невский Б. А., Справочная книга по номографии, М. — Л., 1951; Номографический сборник, М., 1951; D'Ocagne М., Traité de nomographie, 2 éd., P., 1921; Soureau R., Nomographie ou traité des abaques, t. 1–2, P., 1921.