БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (АЛ)

(По материалам статьи А.Г. Куроша и О. Ю. Шмидта из 2-го изд. БСЭ).

Современное состояние алгебры

Сфера приложений математики расширяется с течением времени, и темп этого расширения возрастает. Если в 18 в. математика стала основой механики и астрономии, то уже в 19 в. она стала необходимой для различных областей физики, а ныне математические методы проникают даже в такие, казалось бы далекие от математики области знания, как биология, лингвистика, социология и т.д. Каждая новая область приложений влечёт создание новых глав внутри самой математики. Эта тенденция привела к возникновению значительного числа отдельных математических дисциплин, различающихся по областям исследования (теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, теория уравнений математической физики и т. д.; более новые — теория информации, теория автоматического управления и т. д.). Несмотря на такую дифференциацию, математика остаётся единой наукой. Это единство сохраняется благодаря развитию и совершенствованию ряда общих, объединяющих идей и точек зрения. Тенденция к объединению лежит в существе математики как науки, пользующейся методом абстракции и, кроме того, часто стимулируется тем, что при исследовании задач, возникающих в различных областях знания, приходится пользоваться одним и тем же математическим аппаратом.

Современная А., понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Эту роль А. разделяет с топологией, в которой изучаются наиболее общие свойства непрерывных протяжённостей. А. и топология оказались, несмотря на различие объектов исследования, настолько связанными, что между ними трудно провести чёткую границу. Для современной А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Попытаемся объяснить на простом примере, как это происходит. Всем известна формула ( a + b ) 2= а 2+ 2 аb + b 2. Её выводом является цепочка равенств: ( а + b ) 2= ( a + b )( а + b ) = ( a + b ) a + ( а + b ) b = ( a 2+ ba ) + ( ab + b 2) = a 2+ ( ba + ab )+ b 2= a 2+ 2 ab + b 2. Для обоснования мы дважды пользуемся законом дистрибутивности:. с ( а + b ) = ca + cb (роль с играет а + b ) и ( a + b ) с = ac + bc (роль с играют а и b ) , закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец используется закон коммутативности: ba = ab . Что представляют собой объекты, закодированные буквами а и b , остаётся безразличным; важно, чтобы они принадлежали системе объектов, в которой определены две операции — сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Поэтому формула останется верной, если а и b обозначают векторы на плоскости или в пространстве, сложение принимается сперва как векторное сложение, потом как сложение чисел, умножение — как скалярное умножение векторов. Вместо а и b можно подставить коммутирующие матрицы (т. е. такие, что ab = ba , что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и т. д.

Свойства операций над математическими объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебраических систем: группы, линейные пространства, поля, кольца и т.д. Предметом современной А. в основном является исследование сложившихся алгебраических систем, а также исследование свойств алгебраических систем вообще, на основе ещё более общих понятий (Q-алгебры, модели). Кроме этого направления, носящего название общей А., изучаются применения алгебраических методов к др. разделам математики за её пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебраическая геометрия, вычислительная математика, теоретическая физика, кристаллография и т. д.).

Наиболее важными алгебраическими системами с одной операцией являются группы. Операция в группе ассоциативна [т. е. верно ( a * b ) * с = а *( b * с ) при любых а , b , с из группы; звёздочкой *обозначена операция, которая в разных ситуациях может иметь разные названия] и однозначно обратима, т.е. для любых а и b из группы найдутся единственные х , у , такие, что а * х = b , у * а = b . Примерами групп могут служить: совокупность всех целых чисел относительно сложения, совокупность всех рациональных (целых и дробных) положительных чисел относительно умножения. В этих примерах операция (сложение в первом, умножение во втором) перестановочна. Такие группы называют абелевыми. Совокупности движений, совмещающих данную фигуру или тело с собой, образуют группу, если в качестве операции взять последовательное осуществление двух движений. Такие группы (группы симметрии фигуры) могут быть неабелевыми. Движения, совмещающие с собой атомную решётку кристалла, образуют т. н. федоровские группы, играющие основную роль в кристаллографии и через нее в физике твёрдого тела. Группы могут быть конечными (группы симметрии куба) и бесконечными (группы целых чисел по сложению), дискретными (тот же пример) и непрерывными (группа вращений сферы). Теория групп стала разветвленной, богатой содержанием математической теорией, имеющей обширную область приложений. Не менее богатой приложениями является линейная А., изучающая линейные пространства. Под этим названием понимаются алгебраические системы с двумя операциями — сложением и умножением на числа (действительные или комплексные). Относительно сложения объекты (называемые векторами) образуют абелеву группу, операция умножения удовлетворяет естественным требованиям:

а ( х + у ) = ax + ау , ( а + b ) х = ax + bx , 1× x = х , a ( bx ) = ab ( x );

здесь а и b обозначают числа, х и у — векторы. Множества векторов (в обычном понимании) на плоскости и в пространстве образуют линейные пространства в смысле данного определения. Однако задачи, стоящие перед математикой, заставляют рассматривать многомерные и даже бесконечномерные линейные пространства. Последние (их элементами чаще всего являются функции) составляют предмет изучения функционального анализа. Идеи и методы линейной А. применяются в большинстве разделов математики, начиная с аналитической геометрии и теории систем линейных уравнений. Теория матриц и определителей составляет вычислительный аппарат линейной А.