БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ГР)

Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Г. (норвежский математик С. Ли, нем. математик Ф. Фробениус и др.). Так, уже в 1895 Ли определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).

Теория групп.Конечной целью собственно теории Г. является описание всех возможных групповых композиций. Теория Г. распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую композицию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определённым образом с групповой композицией. Перечислим важнейшие разделы теории групп.

а) Теория конечных Г. Основная проблема этой старейшей ветви теории Г. — классификация т. н. простых конечных Г., играющих роль кирпичей при построении произвольной конечной Г. Одним из наиболее глубоких фактов, установленных в этой теории, является теорема о том, что всякая неабелева простая конечная Г. состоит из чётного числа элементов.

б) Теория абелевых Г. Отправной точкой многих исследований в этой области служит основная теорема о конечно-порождённых абелевых Г., полностью выясняющая их строение.

в) Теория разрешимых и нильпотентных Г. Понятие разрешимой Г. является обобщением понятия абелевой Г. Оно по существу идёт от Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений в радикалах. Для конечных Г. это понятие может быть определено многими равносильными способами, которые перестают быть равносильными при отказе от конечности Г. Изучение возникающих при этом классов Г. составляет предмет теории обобщённо разрешимых и обобщённо нильпотентных Г.

г) Теория Г. преобразований. Понятие Г. возникло исторически именно как понятие Г. преобразований, но в дальнейшем было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория Г. преобразований осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными свойствами обладает Г., заданная как Г. преобразований некоторого множества? Особое внимание привлекают, в частности, Г. подстановок и Г. матриц.

д) Теория представлений Г. — важное орудие изучения абстрактных Г. Представление абстрактной Г. в виде некоторой конкретной Г. (например, в виде Г. подстановок или матриц) позволяет проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных Г., где с её помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным методам.

е) Из разделов теории групп, выделяемых внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой композицией, отметим теорию топологических Г. (в них групповая композиция в некотором смысле непрерывна), в частности её старейшую ветвь — теорию групп Ли.

Теория Г. является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения как в самой математике, так и за её пределами. Например, с помощью теории Г. русский учёный Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория Г. в физике, например в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями.

Лит.: Александров П. С., Введение в теорию групп, 2 изд., М., 1951; Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, с. 248—331; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; Варден Б. Л. ван дер. Метод теории групп в квантовой механике, пер. с нем., Хар.,1938; Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, в кн.: Шмидт О. Ю. Избр. труды. Математика, М., 1959; Федоров Е. С., Симметрия правильных систем фигур, в кн.: Федоров Е.С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; WussinG Н., Die Genesis des abstrakten GruppenbeGriffes B.1969 S.1

М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.

Рис. к ст. Группа.

«Гру'ппа народово'льцев»название двух петербургских революционных организаций, преемственно между собой связанных. 1) «Г. н.» [М. С. Александров (Ольминский), А. А. Федулов, А. Ю. Фейт, А. А. Ергин, Н. Л. Мещеряков] возникла в 1891, разгромлена властями в апреле 1894. Вела пропаганду среди рабочих, издала два номера «Летучего листка» (№1—1892, № 2 — май 1893), ряд воззваний. Объявляя о верности «основным принципам» старого народовольчества (см. «Народная воля» ) , «Г. н.» вносила в свою практику и идейную аргументацию некоторые новые черты, вызванные изменением социально-политической обстановки в России и влиянием русских социал-демократов.

2) В «Г. н.», существовавшую в 1894—96, вошли несколько членов первой группы, уцелевших от арестов, и новые деятели (А. С. Белевский, Е. А. Прейсс, представители рабочей подгруппы, в том числе А. С. Шаповалов). Вторая «Г. н.» в конце февраля 1895 восстановила подпольную типографию, т. н. «Лахтинскую». Члены её выпустили 3-й (апрель 1895) и 4-й номера (декабрь 1895) «Летучего листка», брошюры («Царь — голод» А. Н. Баха и др.). Эволюция в направлении к марксизму выразилась у второй «Г. н.» гораздо определеннее, чем у первой, что особенно сказалось на содержании четвёртого «Листка», издание которого В. И. Ленин приветствовал в работе «Задачи русских социал-демократов» (см. Полн. собр. соч., 5 изд., т. 2, с. 458). Вторая «Г. н.» в практической работе сблизилась с Петербургским «Союзом борьбы за освобождение рабочего класса»: брошюра Ленина «Объяснение закона о штрафах, взимаемых с рабочих на фабриках и заводах» напечатана в типографии «Г. н.». 24 июня 1896 «Лахтинская» типография была захвачена полицией; большинство участников «Г. н.» арестовано.

Лит.: Куделли П. Г., Народовольцы на перепутьи. Дело Лахтинской типографии с приложением документов и «летучих листков» группы народовольцев 1892 и 1895 гг., Л., 1925; Левитас И. Г. Революционные подпольные типографии в России (1860—1917 гг.), М., 1962, с. 75—79.

Ш. М. Левин.

Гру'ппа «Освобожде'ние труда'»,первая русская марксистская организация; существовала с сентября 1883 по август 1903. Создана в Женеве Г. В. Плехановым и его единомышленниками В. И. Засулич, П. Б. Аксельродом, Л. Г. Дейчем, В. Н. Игнатовым. В 1884 в связи с арестом выбыл Дейч, в 1885 умер Игнатов, в 1888 был принят С. М. Ингерман, который активно работал до переезда в Америку в 1891. До 1883 члены Г. «О. т.» были революционными народниками (чернопередельцами). Возникновение российского рабочего движения, неудачи народнического движения заставили искать новую революционную теорию. В эмиграции Плеханов и его соратники ознакомились с опытом западноевропейского рабочего движения, изучили теорию научного социализма. Это привело к коренному пересмотру ими собственной революционной практики. В объявлении об издании «Библиотеки современного социализма» 13(25) сентября 1883 Г. «О. т.» провозгласила свои основные цели и задачи: