БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (КО)

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными).

Внимание к корректности задач было привлечено французским математиком Ж. Адамаром в связи с решением краевых задач для уравнений с частными производными. Понятие корректности задач явилось, в частности, поводом для классификации краевых задач таких уравнений.

Существовало мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физических и технических задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого решения в случае отсутствия устойчивости. Расширение средств автоматизации при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонаучных объектах потребовала рассмотрения некорректных задач. Развитие электронной вычислительной техники и применение её к решению математических задач изменило точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно поставленных задач.

Понятия приближённого решения для К. и н. з. существенно различны. В качестве приближённого решения z = R (u) корректной задачи можно брать точное её решение с приближёнными исходными данными , т. к. для любой точности e приближённого решения корректной задачи в силу третьего условия существует такая точность d(e) исходных данных, что, если , то . Для некорректных задач точное решение с приближёнными исходными данными нельзя принимать в качестве приближённого решения. Однако задание приближённых исходных данных в естественных науках может быть охарактеризовано не только исходным элементом , но и мерой его точности d . Т. о., для определения приближённого решения имеется не только элемент , но и параметр d . Понятие приближённого решения задачи z = R (u) вводится с помощью т. н. параметрического оператора R d(u), зависящего от параметра d и называемого регуляризирующим (или исправляющим) оператором. Если оператор R d(u) определён для всех d > 0 и всех , входящих в класс допустимых исходных данных, и если z = R (u), то для любой заданной точности e существует (хотя бы в принципе) такое d(e) , что для любого элемента решение уклоняется от z меньше, чем на заданную точность e , т. е. .

Т. о., приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению регуляризирующего оператора , который определяет устойчивое приближение к z.

Примером некорректной классической математической задачи может служить задача приближённого дифференцирования при определённых (практически важных) мерах точности задания z и u. Именно, некорректной будет задача о нахождении равномерного приближения к z по равномерному приближению к u , т. к. здесь не выполнено первое условие корректности: не для всякой функции такой, что существует производная , а также не выполняется третье условие корректности: если даже существует производная , то из неравенства не следует близость производных и u'(х). Однако в качестве регуляризирующего оператора можно взять при h >> d . Этот оператор определён для всех независимо от их дифференцируемости и в ограниченном промежутке даёт равномерное приближение для всякой непрерывно дифференцируемой функции u (х).

Можно привести много др. примеров классических математических задач, являющихся некорректными при совершенно естественном выборе понятий меры точности как для исходных данных задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование рядов Фурье; большое число краевых задач для уравнении с частными производными.

Обширный класс некорректно поставленных задач в естествознании составляют задачи обработки наблюдений без дополнительной (количественной) информации о свойствах решений. Если изучается объект, количественные характеристики z которого недоступны для прямого изучения, то обычно исследуются некоторые проявления этого объекта u, функционально зависящие от z. Задача обработки наблюдений состоит в решении «обратной задачи», т. е. в определении характеристики z объекта по результатам наблюдений u; при этом u задаётся приближённо.

Имеется много работ (особенно советских математиков), посвященные методам приближённого решения некорректно поставленных задач и их применений к решению обратных задач. Эти работы имеют важное значение для автоматизации обработки наблюдений, для решения проблем управления и т. д.

Лит.: Тихонов Д. Н., Об устойчивости обратных задач, «Доклады АН СССР», 1943, т. 39, № 5; его же, О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации, там же, 1963, т. 151, № 3; Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962.

А. Н. Тихонов.

Корректу'ра(от лат. correctura — исправление, улучшение), процесс исправления грамматических и технических ошибок и недостатков в текстовом и графическом материалах, подготовленных для размножения типографским (или любым другим) способом. В более узком смысле — оттиск с типографского набора (см. Наборное производство ) , предназначенный для внесения исправлений.