БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греческого математика Диофанта (вероятно, 3 век) и более систематически — в Индии в 7 веке, но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 веке французским математиком Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в Западной Европе в начале 17 века), когда центр тяжести математических интересов переносится в область М. переменных величин.

Древняя Греция.Развитие М. в Древней Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении техники проведения вычислений, искусства решения задач алгебраического характера и разработки математических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчётливых математических доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами).

Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; начало же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7—6 век до н. э.) первых греческих геометров и философов Фалеса Милетского и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические прогрессии [в частности, 1 + 3 + 5+ ... + (2 n — 1) = n 2], изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (например, разыскание так называемых совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистическим, магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», то есть троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению a 2 + b 2 = c 2 . В области геометрии задачи, которыми занимались греческие геометры 6—5 веков до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, например, вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом теоремой Пифагора), о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга , трисекции угла и удвоении куба . Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греческие геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й половине 5 века до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского . Первый систематический учебник геометрии приписывают Гиппократу Хиосскому. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логическими тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и тому подобное. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 века до н. э. — разыскание всех пяти правильных многогранников— результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания. На границе 5 и 4 веков до н. э. Демокрит , исходя из атомистических представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший позднее для Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых. В 4 веке до н. э. в обстановке политической реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистической философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводится требование об ограничении построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 века до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логическому анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского .

Эллинистическая и римская эпоха.С 3 века до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математических исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке, греческая М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греческой образованности и научных интересов во всём эллинистическом и римском мире, Александрия с её «музеем», являвшимся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 век до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид , Архимед , Эратосфен и Аполлоний Пергский .

В своих «Началах» Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. «Начала» Евклида ). Вместе с тем в «Началах» же Евклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрических работ Евклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений . Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 веке до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины; зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристических приёмах Архимеда, не получили дальнейшего развития. Следует сказать, что возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 века до н. э. к отказу от математической строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономические вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств