БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

В 1-й половине 9 века Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин «алгебра» производят от начала названия сочинения Хорезми «Аль-джебр», по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конических сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Средней Азии и Ближнего Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии).

В связи с астрономическими и геодезическими работами большое развитие получила тригонометрия. Аль- Баттани ввёл в употребление тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрических функций, он же выразил словесно алгебраические зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10' с точностью до 1/60 4и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферических треугольников. Насирэддин Туси достиг известного завершения разработки сферической тригонометрии, аль- Каши дал систематическое изложение арифметики десятичных дробей, которые справедливо считал более доступными, чем шестидесятиричные. В связи с вопросами извлечения корней аль-Каши сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал правило образования коэффициентов . В «Трактате об окружности» (около 1427) аль-Каши, определяя периметры вписанного и описанного 3×2 28-угольников, нашёл p с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши дал весьма совершенный итерационный метод численного решения уравнений.

Западная Европа до 16 века.12—15 века являются для западноевропейской М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значительных новых математических фактов, общий характер европейской математической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития М. в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привёл к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 веке первых латинских переводов греческих и арабских математических сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои «Книгу об абаке» (1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой успех. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными центрами теоретической научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисциплины, а не только собрания практических правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [английский математик Т. Брадвардин (1-я половина 14 века) и Н. Орем (середина 14 века)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [французский математик Н. Шюке (конец 15 века)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрических таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака Региомонтаном (И. Мюллером). Значительно совершенствуется математическая символика (см. Знаки математические ). Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в сочинении «Цветок» (около 1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решенные им задачи, доказал неразрешимость уравнения: х 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей (вида и т. п.).

Западная Европа в 16 веке.Этот век был первым веком превосходства Западной Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие Н. Коперника ) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея ), так в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в некоторых направлениях европейская наука ещё отстаёт от достижений среднеазиатских математиков 15 века и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской М., возникают лишь в следующем, 17 веке. В 16 же веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраического решения уравнений третьей (С. Ферро , около 1515, и позднее и независимо Н. Тартальей , около 1530; об истории этих открытий см. Кардано формула ) и четвёртой (Л. Феррари , 1545) степеней, которое считалось в течение столетий неосуществимым. Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени, открыв так называемый неприводимый случай, в котором действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комплексными числами. Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета — основателя настоящего алгебраического буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвестные). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 века, излагается немецким художником А. Дюрером (1525). С. Стевин разработал (1585) правила арифметических действий с десятичными дробями.

Россия до 18 в.Математическое образование в России находилось в 9—13 веках на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15—16 веках в связи с укреплением Русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли потребности общества в математических знаниях. В конце 16 века и особенно в 17 веке появились многочисленные рукописные руководства по арифметике, геометрии, в которых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).