БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

Например, в первом столбце таблицы 1а даны результаты измерения 200 диаметров деталей, группированные по интервалам длиной 0,05 мм . Основная выборка соответствует нормальному ходу технологического процесса, 1-я, 2-я и 3-я выборки сделаны через некоторые промежутки времени для проверки устойчивости этого нормального хода производства. В таблице 1б результаты измерения деталей основной выборки даны при группировке по интервалам длиной 0,25 мм .

Обычно группировка по 10—20 интервалам, в каждый из которых попадает не более 15—20 % значений x i, оказывается достаточной для довольно полного выявления всех существенных свойств распределения и надёжного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения (см. о них ниже). Составленная по таким группированным данным гистограмма наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на основе группировки с маленькими интервалами, обычно многовершинная и не отражает наглядно существенных свойств распределения.

В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров, соответствующая данным первого столбца таблицы 1а, а на рис. 3 — гистограмма того же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду её громоздкости) при интервале 0,01 мм . С другой стороны, группировка по слишком крупным интервалам может привести к потере ясного представления о характере распределения и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик распределения (см. таблицу 1б и соответствующую гистограмму на рис. 2 ).

В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рассмотрен только с формальной стороны: полноты математического описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и так далее. О группировке, имеющей целью выделить качественно различные группы в изучаемой совокупности, см. Статистические группировки .

При изучении совместного распределения двух признаков пользуются таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух качеств, признаков может служить таблица 2а. В общем случае, когда по признаку А материал разбит на классы A 1, A 2, ..., A r, а по признаку В — на классы B 1, B 2, ..., B s, таблица состоит из численностей n ij объектов, принадлежащих одновременно классам A iи B j). Суммируя их по формулам

, ,

получают численности самих классов A iи B j; очевидно, что

,

где n — численность всей изучаемой совокупности. В зависимости от целей дальнейшего исследования вычисляют те или иные из относительных частот

h ij = n ij/ n , h i. = n i. / n , h.j = n. .j/ n , h i(j) = n ij/ n. j , h (i)j = n ij/ n i. .

Например, при изучении влияния вдыхания сыворотки на заболевание гриппом по таблице 2а естественно вычислить относительные частоты, данные в таблице 2б.

Таблица 2а. — Распределение заболевших и не заболевших гриппом среди работников Центрального универмага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших противогриппозную сыворотку (1939)

Таблица 2б. — Относительные частоты (соответствующие данным таблицы 2а)

Пример таблицы для совместного распределения двух количеств, признаков см. в статье Корреляция . Таблица 1а служит примером смешанного случая: материал группируется по одному качеств, признаку (принадлежность к основной выборке, произведённой для определения среднего уровня производственного процесса, и к трём выборкам, произведённым в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количеств, признаку (диаметр деталей).

Простейшими сводными характеристиками распределения одного количественного признака являются среднее

,

и среднее квадратичное отклонение

,

где

При вычислении , S 2 и D по группированным данным пользуются формулами

,

или

,

где r — число интервалов группировки, a k — их середины (в случае таблицы 1а — 13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком крупным интервалам, то такой подсчёт даёт слишком грубые результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным поправкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполнения определённых вероятностных предположений.

О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция , Корреляционный анализ , Регрессия , Регрессионный анализ .

Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров.

Проверка вероятностных гипотез.Выше были изложены лишь некоторые избранные простейшие приёмы статистического описания, представляющего собой довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приёмы статистического описания интересны, однако не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистического материала выводов о закономерностях, которым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отд. случае к тем или иным наблюдённым статистическим распределениям.

Например, данные, приведённые в таблице 2а, естественно связать с такой теоретической схемой. Заболевание гриппом каждого отдельного работника универмага следует считать случайным событием, так как общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь некоторую вероятность заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку ( p 1) и для не вдыхавших ( p 0), судя по статистическим данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что p 1существенно меньше p 0. Перед М. с. возникает задача: по наблюдённым частотам h 1= 4/501 » 0,008 и h 0= 150/1825 » 0,082 оценить вероятности p 1и p 0и проверить, достаточен ли статистический материал для того, чтобы считать установленным, что p 1< p 0(то есть что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных таблицы 2а достаточно убедителен и без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.