БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

Данные первого столбца таблицы 1а собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчётный диаметр которых равен 13,40 мм, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, которое может быть в этом случае обосновано некоторыми теоретическими соображениями, является предположение, что диаметры отдельных деталей можно рассматривать как случайные величины X , подчинённые нормальному распределению вероятностей

P{ X < x } = . (1)

Если это допущение верно, то параметры a и s 2— среднее и дисперсию вероятностного распределения — можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (так как число наблюдений n = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретической дисперсии s 2предпочитают не статистическую дисперсию D 2= S 2 / n , а несмещенную оценку

s 2= S 2/ ( n - 1).

Для теоретического среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещенной оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещенной) для s чаще всего употребляют s . Точность оценок и s для a и s указывается соответствующими дисперсиями, которые в случае нормального распределения (1) имеют вид

s 2 a= s 2 / n ~ s 2/ n ,

~ 2 s 4 / n ,

~ s 2/ 2 n ,

где знак ~ обозначает приближённое равенство при больших n . Таким образом, уславливаясь прибавлять к оценкам со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших n в предположении нормального распределения (1):

, . (2)

Для данных первого столбца таблицы 1а формулы (2) дают

a = 13,416 ± 0,008,

s = 0,110 ± 0,006.

Объём выборки n = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории больших выборок.

Дальнейшие сведения об оценке параметров теоретических распределений вероятностей см. в статьях Статистические оценки , Доверительные границы . О способах, при помощи которых по данным первого столбца таблицы 1а можно было бы проверить исходные гипотезы нормальности распределения и независимости наблюдений, см. в статьях Распределения , Непараметрические методы , Статистическая проверка гипотез .

При рассмотрении данных следующих столбцов таблицы 1а, каждый из которых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории больших выборок, установленных лишь в качестве предельных формул при n ® ¥, может служить только для первой ориентировки. В качестве приближённых оценок параметров a и s по-прежнему употребляются величины и s , но для оценки точности и надёжности таких оценок необходимо применять теорию малых выборок . При сравнении по правилам М. с. выписанных в последних строках таблицы 1а значений и s для трёх выборок с нормальными значениями a и s, оцененными по первому столбцу таблицы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не даёт оснований предполагать существенного изменения хода производственного процесса, вторая выборка даёт основание к заключению об уменьшении среднего диаметра а , третья выборка — к заключению об увеличении дисперсии.

Все основанные на теории вероятностей правила статистической оценки параметров и проверки гипотез действуют лишь с определённым значимости уровнем w < 1, то есть могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью a = 1 — w. Например, если в предположении нормального распределения и известной теоретической дисперсии s 2производить оценку a по по правилу

,

то вероятность ошибки будет равна a, связанному с k соотношением (см. таблицу 3);

.

Вопрос о рациональном выборе уровня значимости в данных конкретных условиях (например, при разработке правил статистического контроля массовой продукции) является весьма существенным. При этом желанию применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значимости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы (не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при заметном неравенстве частот и т. д.).

Таблица 3. — Зависимость a и w = 1 — a от k .

Выборочный метод.В предыдущем разделе результаты наблюдений, используемых для оценки распределения вероятностей или его параметров, подразумевались (хотя это и не оговаривалось) независимыми (см. Вероятностей теория и особенно Независимость ). Хорошо изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка статистического распределения или его параметров в «генеральной совокупности» из N объектов по произведённой из неё «выборке», содержащей n < N объектов.

Терминологическое замечание. Часто совокупность n наблюдений, сделанных для оценки распределения вероятностей, также называют выборкой. Этим объясняется, например, происхождение употребленного выше термина «теория малых выборок». Эта терминология связана с тем, что часто распределение вероятностей представляют себе в виде статистического распределения в воображаемой бесконечной «генеральной совокупности» и условно считают, что наблюдаемые n объектов «выбираются» из этой совокупности. Эти представления не имеют отчётливого содержания. В собственном смысле слова выборочный метод всегда предполагает исходную конечную генеральную совокупность.

Примером применения выборочного метода может служить следующий. Пусть в партии из N изделий имеется L дефектных. Из партии отбирается случайным образом n < N изделий (например, n = 100 при N = 10 000). Вероятность того, что число l дефектных изделий в выборке будет равно m , равна