БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

Изучение математических моделей физики математическими методами не только позволяет получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физических явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физических явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математических моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитических методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математические модели реальных физических процессов являются, как правило, нелинейными, то есть описываются нелинейными уравнениями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене уравнениями М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраическими уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физический эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом. Достаточно полно проведённый математический численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физического эксперимента, выбора параметров сложных физических установок, определения условий проявления новых физических эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математических моделей физических явлений.

Математическая модель физического явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретических исследований принятой модели с данными экспериментов.

Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физических проявлений.

Для М. ф. характерно стремление строить такие математические модели, которые не только дают описание и объяснение уже установленных физических закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности. Классическим примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; Курант Р., Уравнения с частными производными, перевод с английского, М., 1964; Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, перевод с английского, т. 1—2, М., 1958.

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, А. Г. Свешников.

Математи'ческая шко'ла, одно из направлений в буржуазной политической экономии. Возникла во 2-й половине 19 века. Основатель М. ш. — Л. Вальрас , видные представители — В. Парето , У. Джевонс , Ф. Эджуорт , И. Фишер , Г. Кассель , К. Викселль . Из предшественников М. ш. наиболее известны А. Курно и Г. Госсен . Подход М. ш. к основным проблемам политической экономии, как правило, мало отличается от концепций, господствовавших в буржуазной экономической мысли 2-й половины 19 века и 1-й трети 20 века.

Специфическая особенность теоретических построений М. ш. — ориентация на маржинализм . Активное использование предельных категорий (предельная полезность, предельная эффективность, предельная производительность), принципа убывания полезности и принципа редкости роднит М. ш. с австрийской школой .

Однако место М. ш. в истории экономической науки определено тем, что она придаёт решающее значение математике как методу изучения экономических явлений. Именно этот принцип объединил порой сильно отличавшихся по своим экономическим взглядам учёных в рамках М. ш.

Для М. ш. ценность математических моделей экономических явлений состоит не столько в том, что они позволяют лаконичным образом описывать эти явления, сколько в том, что с их помощью можно получить из высказанных предпосылок выводы, которые иным путём не могут быть получены. Представители М. ш., и особенно Вальрас, видели в математике метод для исследования как частных, так и глобальных народно-хозяйственных явлений. Типичной является модель равновесия народного хозяйства Вальраса. В отличие от модели народного хозяйства послекейнсианского периода, эта модель основывается не на макроэкономических показателях типа национального дохода, численности занятых, валовых инвестиций, а на показателях, характеризующих поведение отдельных производителей и потребителей (так называемый микроэкономический подход). Каждый производитель характеризуется функцией предложения, а каждый потребитель — функцией спроса. В модели с помощью равновесных цен обеспечивается равенство спроса и предложения по каждому товару. Из возникшего равновесия система может быть выведена только с помощью внешних сил. Осуществленный Вальрасом, Джевонсом, Парето анализ условий равновесия рыночной экономики оказал большое влияние на буржуазных экономистов середины 20 века, занимавшихся проблемами построения математических моделей капиталистической экономики.

Модели Вальраса и других представителей М. ш. далеки от того, чтобы адекватно описывать даже экономику капитализма периода свободной конкуренции. Они упрощают, а часто и искажают реальные условия функционирования капиталистической системы хозяйства. Достаточно указать на статичность этих моделей, на игнорирование циклического характера развития капиталистической экономики, классовой борьбы и т. д. Вместе с тем модели, разработанные М. ш., сыграли и известную положительную роль, стимулируя исследования, приведшие к созданию в 50-е годы 20 века межотраслевой модели народного хозяйства на основе метода «выпуск — затраты», а также к получению интересных результатов в области ценообразования в условиях экономического равновесия (модели Д. Гейла, Дж. К. Эрроу, Г. Дебре и других).