БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (МА)

Рис. 3 к ст. Математические развлечения и игры.

Рис. 2 к ст. Математические развлечения и игры.

Математи'ческий горизо'нт, см. Горизонт.

Математи'ческий институ'тимени В. А. Стеклова Академии наук СССР (МИАН), центральное советское научно-исследовательское учреждение, разрабатывающее вопросы математики; находится в Москве; имеется отделение в Ленинграде. Существует как самостоятельное учреждение с 1934, когда он выделился из состава Физико-математического института АН, организованного В. А. Стекловым в 1921. С момента основания институт был возглавлен И. М. Виноградовым, который является директором и в настоящее время (1974). На базе отделов института организован ряд учреждений АН: институт механики АН СССР (ныне Проблем механики институт АН СССР), Точной механики и вычислительной техники институт АН СССР, Прикладной математики институт АН СССР, Вычислительный центр АН СССР, Математики институт Сибирского отделения АН СССР, Математики и механики институт Уральского научного центра АН СССР.

В институте разрабатываются наиболее важные проблемы теории чисел, алгебры, математической логики, геометрии, топологии, теории функций, дифференциальных уравнений, математической теории оптимального управления, теории вероятностей, математической статистики и других разделов математики, а также важные проблемы механики и теоретической физики. Научными сотрудниками института выполнен ряд работ, имеющих фундаментальное значение. Авторы многих из них удостоены Ленинских и Государственных премий СССР. Институт издаёт «Труды» (с 1931). Имеется аспирантура. Награжден орденом Ленина (1967).

Ю. В. Прохоров.

Математи'ческий интуициони'зм,философско-математическое течение, отвергающее теоретико-множественную трактовку математики и считающее интуицию единственным источником математики и главным критерием строгости её построений. Восходящая к античной математике интуиционистская традиция в той или иной степени разделялась такими учёными, как К. Ф. Гаусс , Л. Кронекер , А. Пуанкаре , А. Лебег , Э. Борель , Г. Вейль . С развёрнутой критикой классической математики и радикальной программой интуиционистского переустройства математики выступил в начале 20 века Л. Э. Я. Брауэр . Формирование этой программы, которую ныне и принято называть «интуиционизмом» (сам Брауэр использовал термин «неоинтуиционизм»), проходило в острой полемике с математическим формализмом на фоне вызванного антиномиями теории множеств кризиса оснований математики. Брауэр решительным образом отвергал как веру в актуальный характер бесконечных множеств (см. Бесконечность в математике), так и правомерность экстраполяции в область бесконечного выработанных для конечных совокупностей законов традиционной логики. Согласно интуиционистским воззрениям, предметом исследования математики являются умственные построения, рассматриваемые как таковые «безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них» (А. Гейтинг, Нидерланды). Математические утверждения — суть некоторая информация о выполненных построениях. Обращение с умственными построениями требует особой логики — так называемой интуиционистской логики, не принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объёме исключённого третьего принципа .

В серии статей начиная с 1918 Брауэр и его последователи осуществили построение основных разделов интуиционистской математики — теории множеств, математического анализа, топологии, геометрии и так далее. В настоящее время (70-е годы 20 века) интуиционистская математика является достаточно глубоко разработанным направлением. Требования интуиционистской программы обоснования математики приводят к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают весьма необычный вид. Это связано с отказом рассматривать актуально заданные бесконечные множества как объект исследования и с требованием эффективности всех осуществляемых построений. Весьма своеобразным является основное орудие М. и. — концепция свободно становящейся последовательности (в другой терминологии — последовательности выбора) и связанная с ней новая трактовка числового континуума как «среды становления» последовательности измельчающихся рациональных интервалов (в противовес традиционной точке зрения, конструирующей континуум из отдельных точек). В своей простейшей форме свободно становящаяся последовательность (ссп) есть функция, перерабатывающая натуральные числа в натуральные и такая, что любое её значение может быть эффективно вычислено. Точное исследование показывает, что следует различать несколько видов ссп в зависимости от степени информации, известной исследователю о ссп. Считая критерием верности построений прежде всего интуицию, и в противовес формализму, Брауэр возражал против попыток формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской логики. Но «интуиция» интуиционизма, независимо от философских установок и взглядов на неё Брауэра и Вейля, — это, в основной своей части, наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов (см. Конструктивная математика ), складывающаяся у людей в процессе их социального развития, обучения и воспитания и как таковая вполне допускающая исследование точными методами. Значительные успехи были достигнуты в изучении интуиционистской логики именно после того, как основные ее законы были точно сформулированы в виде исчислений, к которым можно было применять точные методы математической логики. Можно упомянуть, например, известную интерпретацию интуиционистского исчисления предикатов, предложенную А. Н. Колмогоровым , погружение классической формальной арифметики в интуиционистскую (К. Гедель ), доказательство независимости логических связок и невозможность представления интуиционистского исчисления предикатов в виде конечнозначной логики (К. Гедель), теорию моделей для интуиционистской логики и многие другие факты, выясняющие значение и особенности интуиционистское логики по сравнению с классической, которые принципиально не могли бы быть получены без предварительной точной формулировки. Точная формулировка законов интуиционистской логики и интуиционистской арифметики была предложена уже в 30-е годы 20 века Гейтингом. Удовлетворительное построение теории ссп и более высоких разделов интуиционистской математики было завершено лишь к 70-м годам (С. Клини и другие). М. и. находится в стадии дальнейшей интенсивной разработки. Внимание М. и. к эффективности получаемых результатов находится в прекрасном согласии с вычислительной тенденцией в современной математике и привлекает к интуиционистской логике большое число плодотворно работающих математиков. В СССР группа математиков-логиков во главе с А. А. Марковым занимается разработкой конструктивной математики — близкого к М. и. направления (см. Конструктивное направление в математике).